以下の2つの条件を満たす2次関数を求める問題です。 (1) 頂点が点 $(-1, 3)$ で、点 $(-2, 7)$ を通る。 (2) 3点 $(-1, -6)$, $(1, -2)$, $(3, 10)$ を通る。

1. 問題の内容

以下の2つの条件を満たす2次関数を求める問題です。

(1) 頂点が点 $(-1, 3)$ で、点 $(-2, 7)$ を通る。

(2) 3点 $(-1, -6)$, $(1, -2)$, $(3, 10)$ を通る。

2. 解き方の手順

(1) 頂点が与えられているので、2次関数を $y = a(x - p)^2 + q$ の形でおきます。頂点が $(-1, 3)$ であるから、$p = -1$, $q = 3$ となります。よって、

$y = a(x + 1)^2 + 3$

この式に、点 $(-2, 7)$ を通るという条件を代入します。

$7 = a(-2 + 1)^2 + 3$

$7 = a(-1)^2 + 3$

$7 = a + 3$

$a = 4$

よって、2次関数は

$y = 4(x + 1)^2 + 3$

$y = 4(x^2 + 2x + 1) + 3$

$y = 4x^2 + 8x + 4 + 3$

$y = 4x^2 + 8x + 7$

(2) 3点 $(-1, -6)$, $(1, -2)$, $(3, 10)$ を通る2次関数を $y = ax^2 + bx + c$ とおきます。

3点の座標をそれぞれ代入すると、以下の3つの式が得られます。

$-6 = a(-1)^2 + b(-1) + c$

$-6 = a - b + c$ ...(1)

$-2 = a(1)^2 + b(1) + c$

$-2 = a + b + c$ ...(2)

$10 = a(3)^2 + b(3) + c$

$10 = 9a + 3b + c$ ...(3)

(2) - (1)より、

$-2 - (-6) = (a + b + c) - (a - b + c)$

$4 = 2b$

$b = 2$

これを(1)と(3)に代入すると

$-6 = a - 2 + c$

$a + c = -4$ ...(4)

$10 = 9a + 3(2) + c$

$10 = 9a + 6 + c$

$9a + c = 4$ ...(5)

(5) - (4)より、

$9a + c - (a + c) = 4 - (-4)$

$8a = 8$

$a = 1$

$a = 1$ を(4)に代入すると、

$1 + c = -4$

$c = -5$

よって、2次関数は $y = x^2 + 2x - 5$

3. 最終的な答え

(1) $y = 4x^2 + 8x + 7$

(2) $y = x^2 + 2x - 5$