不等式 $a^2 + 9b^2 \geq 4ab$ を証明し、等号が成り立つときを調べる。

1. 問題の内容

不等式 $a^2 + 9b^2 \geq 4ab$ を証明し、等号が成り立つときを調べる。

2. 解き方の手順

与えられた不等式を変形して証明する。

まず、$a^2 + 9b^2 \geq 4ab$ を変形する。

$4ab$ を左辺に移項すると、

$a^2 - 4ab + 9b^2 \geq 0$ となる。

次に、左辺を平方完成させる。

$a^2 - 4ab + 9b^2 = (a^2 - 4ab + 4b^2) + 5b^2 = (a - 2b)^2 + 5b^2$

したがって、$a^2 - 4ab + 9b^2 = (a - 2b)^2 + 5b^2 \geq 0$ となる。

$(a - 2b)^2 \geq 0$ であり、$5b^2 \geq 0$ であるから、 $(a - 2b)^2 + 5b^2 \geq 0$ は成り立つ。

等号が成り立つのは、 $(a - 2b)^2 = 0$ かつ $5b^2 = 0$ のときである。

$5b^2 = 0$ より、$b = 0$

$(a - 2b)^2 = 0$ より、$a - 2b = 0$ 。

$b = 0$ を代入すると、$a - 2(0) = 0$ なので、$a = 0$

したがって、等号が成り立つのは $a = 0$ かつ $b = 0$ のときである。

3. 最終的な答え

不等式 $a^2 + 9b^2 \geq 4ab$ は証明された。

等号が成り立つのは $a = 0$ かつ $b = 0$ のときである。