あるお菓子屋で、ドーナツを1個100円で売ると1日に200個売れる。ドーナツを1個につき1円値上げするごとに、1日の売り上げ個数は1個ずつ減る。ドーナツを1個100円から$x$円値上げしたときの1日の売り上げを$y$円とする。$x$と$y$の関係を表すグラフと、$y$の最大値を求める。

1. 問題の内容

あるお菓子屋で、ドーナツを1個100円で売ると1日に200個売れる。ドーナツを1個につき1円値上げするごとに、1日の売り上げ個数は1個ずつ減る。ドーナツを1個100円から$x$円値上げしたときの1日の売り上げを$y$円とする。$x$と$y$の関係を表すグラフと、$y$の最大値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y$を$x$で表す式を作る。

ドーナツの価格は$100 + x$円。

売れる個数は$200 - x$個。

したがって、1日の売り上げ$y$は、

$y = (100 + x)(200 - x)$

$y = 20000 - 100x + 200x - x^2$

$y = -x^2 + 100x + 20000$

この式を平方完成する。

$y = -(x^2 - 100x) + 20000$

$y = -(x^2 - 100x + 2500 - 2500) + 20000$

$y = -(x - 50)^2 + 2500 + 20000$

$y = -(x - 50)^2 + 22500$

したがって、このグラフは上に凸な放物線であり、頂点は$(50, 22500)$である。$x$の変域は$x \ge 0$ かつ $200 - x \ge 0$ より $0 \le x \le 200$である。

したがって、グラフは頂点が$(50, 22500)$で、上に凸な放物線である必要がある。選択肢の中でこれを満たすグラフは④である。

また、$y$の最大値は$x=50$のときの値なので、$22500$である。

3. 最終的な答え

グラフは④である。

$y$の最大値は$22500$である。