方程式 $2 \cdot 4^x - 11 \cdot 2^x - 40 = 0$ を解き、$x$ の値を求める。

1. 問題の内容

方程式 $2 \cdot 4^x - 11 \cdot 2^x - 40 = 0$ を解き、$x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$ であることに注意する。

そこで、$t = 2^x$ と置くと、方程式は次のようになる。

$2t^2 - 11t - 40 = 0$

この2次方程式を解く。因数分解すると、

$(2t + 5)(t - 8) = 0$

したがって、$t = -\frac{5}{2}$ または $t = 8$ となる。

$t = 2^x$ であったので、$2^x = -\frac{5}{2}$ または $2^x = 8$ である。

$2^x$ は常に正であるため、$2^x = -\frac{5}{2}$ は解を持たない。

したがって、$2^x = 8$ を解く。

$8 = 2^3$ であるから、$2^x = 2^3$。

よって、$x = 3$ となる。

3. 最終的な答え

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