(7) 初項が 100、公差が -3 である等差数列の初項から第 $n$ 項までの和が最大となるとき、$n$ の値を求める問題。 (8) 数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = 2n^2 - 5n$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) であるとき、$a_n$ を $n$ の式で表す問題。

はい、承知いたしました。それでは、問題の解答を以下に示します。

1. 問題の内容

(7) 初項が 100、公差が -3 である等差数列の初項から第 $n$ 項までの和が最大となるとき、$n$ の値を求める問題。

(8) 数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = 2n^2 - 5n$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) であるとき、$a_n$ を $n$ の式で表す問題。

2. 解き方の手順

(7) 等差数列の和が最大となるのは、正の項が続く限り足し合わせる場合です。したがって、$a_n$ が初めて負になる $n$ の直前まで和をとればよいことになります。

まず、一般項 $a_n$ を求めます。

$a_n = a_1 + (n-1)d = 100 + (n-1)(-3) = 100 - 3n + 3 = 103 - 3n$

$a_n < 0$ となる $n$ を探します。

$103 - 3n < 0$

$3n > 103$

$n > \frac{103}{3} \approx 34.33$

したがって、$a_{34} > 0$ で $a_{35} < 0$ となるため、和が最大になるのは $n = 34$ のときです。

(8) $S_n = 2n^2 - 5n$ と与えられています。$a_n$ を求めるには、$a_n = S_n - S_{n-1}$ を利用します。ただし、$n \geq 2$ の場合です。

$a_n = S_n - S_{n-1} = (2n^2 - 5n) - [2(n-1)^2 - 5(n-1)]$

$= (2n^2 - 5n) - [2(n^2 - 2n + 1) - 5n + 5]$

$= 2n^2 - 5n - (2n^2 - 4n + 2 - 5n + 5)$

$= 2n^2 - 5n - 2n^2 + 4n - 2 + 5n - 5$

$= 4n - 7$

$n = 1$ のとき、$S_1 = a_1 = 2(1)^2 - 5(1) = 2 - 5 = -3$

$a_1 = 4(1) - 7 = -3$ となり、$n \geq 2$ の場合の結果と一致します。

したがって、$a_n = 4n - 7$ です。

3. 最終的な答え

(7) $n = 34$

(8) $a_n = 4n - 7$