与えられた不等式 $\log_2(x-2) + \log_2(x-9) > 3$ を解き、$x$ の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $\log_2(x-2) + \log_2(x-9) > 3$ を解き、$x$ の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を使って不等式を簡略化します。

対数の和は、真数の積の対数に等しいことを利用します。

$\log_2(x-2) + \log_2(x-9) = \log_2((x-2)(x-9))$

したがって、不等式は以下のようになります。

$\log_2((x-2)(x-9)) > 3$

次に、対数の定義に基づいて不等式を書き換えます。

$(x-2)(x-9) > 2^3$

$(x-2)(x-9) > 8$

展開して整理します。

$x^2 - 11x + 18 > 8$

$x^2 - 11x + 10 > 0$

二次不等式を解くために、まず二次方程式 $x^2 - 11x + 10 = 0$ の解を求めます。

$(x-1)(x-10) = 0$

したがって、$x=1$ または $x=10$ となります。

二次不等式 $x^2 - 11x + 10 > 0$ の解は、$x < 1$ または $x > 10$ となります。

ただし、対数の真数は正である必要があります。

したがって、$x-2 > 0$ かつ $x-9 > 0$ である必要があります。

つまり、$x > 2$ かつ $x > 9$ でなければなりません。

したがって、$x > 9$ である必要があります。

$x < 1$ または $x > 10$ という条件と、$x > 9$ という条件を組み合わせると、$x > 10$ が解となります。

3. 最終的な答え

$x > 10$