次の式を簡単にせよ。 $\frac{5}{3} \sqrt[6]{9} + \sqrt[3]{-81} + \sqrt[3]{\frac{1}{9}}$

## 問題1

1. 問題の内容

次の式を簡単にせよ。

$\frac{5}{3} \sqrt[6]{9} + \sqrt[3]{-81} + \sqrt[3]{\frac{1}{9}}$

2. 解き方の手順

まず、それぞれの項を簡単にします。

$\sqrt[6]{9} = \sqrt[6]{3^2} = 3^{\frac{2}{6}} = 3^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{3}$

$\sqrt[3]{-81} = \sqrt[3]{-27 \times 3} = -3\sqrt[3]{3}$

$\sqrt[3]{\frac{1}{9}} = \frac{1}{\sqrt[3]{9}} = \frac{1}{\sqrt[3]{3^2}} = \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{3^2} \times \sqrt[3]{3}} = \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{3^3}} = \frac{\sqrt[3]{3}}{3}$

したがって、与えられた式は次のようになります。

$\frac{5}{3} \sqrt[3]{3} - 3\sqrt[3]{3} + \frac{\sqrt[3]{3}}{3} = \frac{5}{3}\sqrt[3]{3} - \frac{9}{3}\sqrt[3]{3} + \frac{1}{3}\sqrt[3]{3} = (\frac{5}{3} - \frac{9}{3} + \frac{1}{3})\sqrt[3]{3} = (\frac{5-9+1}{3})\sqrt[3]{3} = \frac{-3}{3}\sqrt[3]{3} = -\sqrt[3]{3}$

3. 最終的な答え

$-\sqrt[3]{3}$

## 問題2

1. 問題の内容

$(\sqrt[3]{2} + \sqrt[6]{3})(\sqrt[3]{2} - \sqrt[6]{3})(\sqrt[3]{16} + \sqrt[3]{12} + \sqrt[3]{9})$を計算せよ。

2. 解き方の手順

$(\sqrt[3]{2} + \sqrt[6]{3})(\sqrt[3]{2} - \sqrt[6]{3}) = (\sqrt[3]{2})^2 - (\sqrt[6]{3})^2 = \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{3}$

$\sqrt[3]{16} + \sqrt[3]{12} + \sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{4^2} + \sqrt[3]{4 \cdot 3} + \sqrt[3]{3^2}$

$(\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{3})(\sqrt[3]{16} + \sqrt[3]{12} + \sqrt[3]{9}) = (\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{3})(\sqrt[3]{4^2} + \sqrt[3]{4 \cdot 3} + \sqrt[3]{3^2})$

これは、$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$の公式を利用できます。

$a = \sqrt[3]{4}, b = \sqrt[3]{3}$とすると、

$(\sqrt[3]{4})^3 - (\sqrt[3]{3})^3 = 4 - 3 = 1$

3. 最終的な答え

$1$

## 問題3

1. 問題の内容

正の実数 $a$ に対して、$(\frac{\sqrt[3]{a^4} \times \sqrt[4]{a^7}}{\sqrt[6]{a^5}})^6$ を $a^p$ の形で表せ。

2. 解き方の手順

まず、根号を指数に変換します。

$\sqrt[3]{a^4} = a^{\frac{4}{3}}$

$\sqrt[4]{a^7} = a^{\frac{7}{4}}$

$\sqrt[6]{a^5} = a^{\frac{5}{6}}$

与えられた式は、

$(\frac{a^{\frac{4}{3}} \times a^{\frac{7}{4}}}{a^{\frac{5}{6}}})^6$

指数の法則を使って、

$(\frac{a^{\frac{4}{3} + \frac{7}{4}}}{a^{\frac{5}{6}}})^6$

$\frac{4}{3} + \frac{7}{4} = \frac{16+21}{12} = \frac{37}{12}$

$(\frac{a^{\frac{37}{12}}}{a^{\frac{5}{6}}})^6 = (a^{\frac{37}{12} - \frac{5}{6}})^6$

$\frac{37}{12} - \frac{5}{6} = \frac{37}{12} - \frac{10}{12} = \frac{27}{12} = \frac{9}{4}$

$(a^{\frac{9}{4}})^6 = a^{\frac{9}{4} \times 6} = a^{\frac{54}{4}} = a^{\frac{27}{2}}$

3. 最終的な答え

$a^{\frac{27}{2}}$