## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

与えられた3つの問題を解く。

(1) $\frac{5}{3}\sqrt[6]{9} + \sqrt[3]{-81} + \sqrt[3]{\frac{1}{9}}$ を簡略化する。

(2) $(\sqrt[3]{2} + \sqrt[6]{3})(\sqrt[3]{2} - \sqrt[6]{3})(\sqrt[3]{16} + \sqrt[3]{12} + \sqrt[3]{9})$ を計算する。

(3) 正の実数 $a$ に対して、$(\frac{\sqrt[3]{a^4}\times \sqrt[4]{a^7}}{\sqrt[6]{a^5}})^6$ を $a^p$ の形で表す。

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2. 解き方の手順

### (1) $\frac{5}{3}\sqrt[6]{9} + \sqrt[3]{-81} + \sqrt[3]{\frac{1}{9}}$ の簡略化

1. 各項を整理する。$\sqrt[6]{9} = \sqrt[6]{3^2} = 3^{\frac{2}{6}} = 3^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{3}$

2. $\sqrt[3]{-81} = \sqrt[3]{-27 \times 3} = -3\sqrt[3]{3}$

3. $\sqrt[3]{\frac{1}{9}} = \sqrt[3]{\frac{1}{3^2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{3^2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{9}} = \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{9} \times \sqrt[3]{3}} = \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{\sqrt[3]{3}}{3}$

4. 与式に代入して計算する。

$\frac{5}{3}\sqrt[3]{3} - 3\sqrt[3]{3} + \frac{\sqrt[3]{3}}{3} = (\frac{5}{3} - 3 + \frac{1}{3})\sqrt[3]{3} = (\frac{6}{3} - 3)\sqrt[3]{3} = (2-3)\sqrt[3]{3} = -\sqrt[3]{3}$

### (2) $(\sqrt[3]{2} + \sqrt[6]{3})(\sqrt[3]{2} - \sqrt[6]{3})(\sqrt[3]{16} + \sqrt[3]{12} + \sqrt[3]{9})$ の計算

1. $(\sqrt[3]{2} + \sqrt[6]{3})(\sqrt[3]{2} - \sqrt[6]{3})$ の部分を計算する。これは和と差の積の形なので $(\sqrt[3]{2})^2 - (\sqrt[6]{3})^2 = \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{3}$

2. $\sqrt[3]{16} + \sqrt[3]{12} + \sqrt[3]{9} = (\sqrt[3]{4})^2 + \sqrt[3]{4}\sqrt[3]{3} + (\sqrt[3]{3})^2$

3. $(\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{3})((\sqrt[3]{4})^2 + \sqrt[3]{4}\sqrt[3]{3} + (\sqrt[3]{3})^2)$ は $A^3 - B^3$ の形。ここで $A = \sqrt[3]{4}, B = \sqrt[3]{3}$

4. $(\sqrt[3]{4})^3 - (\sqrt[3]{3})^3 = 4-3 = 1$

### (3) $(\frac{\sqrt[3]{a^4}\times \sqrt[4]{a^7}}{\sqrt[6]{a^5}})^6$ を $a^p$ の形で表す

1. $\sqrt[3]{a^4} = a^{\frac{4}{3}}$

2. $\sqrt[4]{a^7} = a^{\frac{7}{4}}$

3. $\sqrt[6]{a^5} = a^{\frac{5}{6}}$

4. $\frac{\sqrt[3]{a^4}\times \sqrt[4]{a^7}}{\sqrt[6]{a^5}} = \frac{a^{\frac{4}{3}} \times a^{\frac{7}{4}}}{a^{\frac{5}{6}}} = \frac{a^{\frac{16+21}{12}}}{a^{\frac{5}{6}}} = \frac{a^{\frac{37}{12}}}{a^{\frac{10}{12}}} = a^{\frac{37-10}{12}} = a^{\frac{27}{12}} = a^{\frac{9}{4}}$

5. $(a^{\frac{9}{4}})^6 = a^{\frac{9}{4} \times 6} = a^{\frac{54}{4}} = a^{\frac{27}{2}}$

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3. 最終的な答え

(1) $-\sqrt[3]{3}$

(2) $1$

(3) $a^{\frac{27}{2}}$