与えられた4つの数について、分母を有理化する問題です。 (1) $\frac{1}{\sqrt{3}}$ (2) $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}$ (3) $\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ (4) $\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{2}}$

1. 問題の内容

与えられた4つの数について、分母を有理化する問題です。

(1) $\frac{1}{\sqrt{3}}$

(2) $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}$

(3) $\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

(4) $\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{2}}$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1}{\sqrt{3}}$ の場合：

分子と分母に$\sqrt{3}$を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

(2) $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}$ の場合：

分子と分母に$\sqrt{5}$を掛けます。

$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{7} \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{35}}{5}$

(3) $\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ の場合：

分子と分母に$\sqrt{3}$を掛けます。

$\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{2} \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{6}}{3} = 2\sqrt{6}$

(4) $\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{2}}$ の場合：

分子と分母に$\sqrt{7}+\sqrt{2}$を掛けます。これは$(\sqrt{7}-\sqrt{2})(\sqrt{7}+\sqrt{2})$が$7-2 = 5$になることを利用します。

$\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{2}} = \frac{1 \times (\sqrt{7}+\sqrt{2})}{(\sqrt{7}-\sqrt{2}) \times (\sqrt{7}+\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{2}}{7-2} = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{2}}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{3}}{3}$

(2) $\frac{\sqrt{35}}{5}$

(3) $2\sqrt{6}$

(4) $\frac{\sqrt{7}+\sqrt{2}}{5}$