## 問題の解答

## 問題の解答

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1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

1. 2点 A($\vec{a}$), B($\vec{b}$) を結ぶ線分 AB を、1:3 に内分する点、外分する点の位置ベクトルを $\vec{a}$, $\vec{b}$ を用いて表せ。

2. $\vec{OA} = 4\vec{a} - 2\vec{b}$, $\vec{OB} = 3\vec{a} - 5\vec{b}$, $\vec{OC} = -5\vec{a} + 7\vec{b}$ とする。ただし、$\vec{a} \neq \vec{0}$, $\vec{b} \neq \vec{0}$ で、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は平行でないものとする。$\vec{AB}$, $\vec{AC}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$ を用いて表せ。

3. 3点 A($\vec{a}$), B($\vec{b}$), C($\vec{c}$) を頂点とする $\triangle ABC$ において、辺 AB の中点を D、辺 BC, CA をそれぞれ 2:1, 3:1 に内分する点を順に E, F とする。次のベクトルを $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ を用いて表せ。

(1) $\vec{BE}$

(2) $\vec{DF}$

4. 3点 A($\vec{a}$), B($\vec{b}$), C($\vec{c}$) を頂点とする $\triangle ABC$ において、辺 BC, CA, AB を 3:2 に内分する点を、それぞれ D, E, F とする。$\triangle DEF$ の重心 G の位置ベクトル $\vec{g}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ を用いて表せ。

5. 次の直線の媒介変数表示を、媒介変数 $t$ として求めよ。また、$t$ を消去した式で表せ。点 A(4, -2) を通り、ベクトル $\vec{d} = (2, -1)$ に平行な直線。

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2. 解き方の手順

**問題1**

内分点の位置ベクトルは、$\vec{p} = \frac{m\vec{b} + n\vec{a}}{m+n}$ で求められます。

外分点の位置ベクトルは、$\vec{q} = \frac{-m\vec{b} + n\vec{a}}{n-m}$ で求められます。

* 1:3 に内分する点の位置ベクトル: $\frac{1\vec{b} + 3\vec{a}}{1+3} = \frac{3\vec{a} + \vec{b}}{4}$

* 1:3 に外分する点の位置ベクトル: $\frac{-1\vec{b} + 3\vec{a}}{3-1} = \frac{3\vec{a} - \vec{b}}{2}$

**問題2**

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$、$\vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA}$ を用いて計算します。

$\vec{AB} = (3\vec{a} - 5\vec{b}) - (4\vec{a} - 2\vec{b}) = -\vec{a} - 3\vec{b}$

$\vec{AC} = (-5\vec{a} + 7\vec{b}) - (4\vec{a} - 2\vec{b}) = -9\vec{a} + 9\vec{b}$

**問題3**

(1) 点 E は辺 BC を 2:1 に内分するので、$\vec{OE} = \frac{1\vec{b} + 2\vec{c}}{1+2} = \frac{\vec{b} + 2\vec{c}}{3}$

$\vec{BE} = \vec{OE} - \vec{OB} = \frac{\vec{b} + 2\vec{c}}{3} - \vec{b} = \frac{\vec{b} + 2\vec{c} - 3\vec{b}}{3} = \frac{-2\vec{b} + 2\vec{c}}{3} = -\frac{2}{3}\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{c}$

(2) 点 D は辺 AB の中点なので、$\vec{OD} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$

点 F は辺 CA を 3:1 に内分するので、$\vec{OF} = \frac{1\vec{c} + 3\vec{a}}{1+3} = \frac{3\vec{a} + \vec{c}}{4}$

$\vec{DF} = \vec{OF} - \vec{OD} = \frac{3\vec{a} + \vec{c}}{4} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} = \frac{3\vec{a} + \vec{c} - 2\vec{a} - 2\vec{b}}{4} = \frac{\vec{a} - 2\vec{b} + \vec{c}}{4} = \frac{1}{4}\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{4}\vec{c}$

**問題4**

点 D は辺 BC を 3:2 に内分するので、$\vec{OD} = \frac{2\vec{b} + 3\vec{c}}{5}$

点 E は辺 CA を 3:2 に内分するので、$\vec{OE} = \frac{2\vec{c} + 3\vec{a}}{5}$

点 F は辺 AB を 3:2 に内分するので、$\vec{OF} = \frac{2\vec{a} + 3\vec{b}}{5}$

$\vec{g} = \frac{\vec{OD} + \vec{OE} + \vec{OF}}{3} = \frac{\frac{2\vec{b} + 3\vec{c}}{5} + \frac{2\vec{c} + 3\vec{a}}{5} + \frac{2\vec{a} + 3\vec{b}}{5}}{3} = \frac{5\vec{a} + 5\vec{b} + 5\vec{c}}{15} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$

**問題5**

点 A(4, -2) を通り、ベクトル $\vec{d} = (2, -1)$ に平行な直線の媒介変数表示は、

$x = 4 + 2t$

$y = -2 - t$

$t$ を消去するために、$t = -y - 2$ を $x$ の式に代入すると、

$x = 4 + 2(-y - 2) = 4 - 2y - 4 = -2y$

よって、$x + 2y = 0$

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3. 最終的な答え

1. 内分点: $\frac{3\vec{a} + \vec{b}}{4}$, 外分点: $\frac{3\vec{a} - \vec{b}}{2}$

2. $\vec{AB} = -\vec{a} - 3\vec{b}$, $\vec{AC} = -9\vec{a} + 9\vec{b}$

3. (1) $\vec{BE} = -\frac{2}{3}\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{c}$ (2) $\vec{DF} = \frac{1}{4}\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{4}\vec{c}$

4. $\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$

5. 媒介変数表示: $x = 4 + 2t$, $y = -2 - t$, $t$ を消去した式: $x + 2y = 0$