平面上に点Oと異なる点A(a)がある。この平面上で、ベクトル方程式 $\vec{p} \cdot \vec{p} - \vec{a} \cdot \vec{p} = 0$ は、どのような図形を表すか。

1. 問題の内容

平面上に点Oと異なる点A(a)がある。この平面上で、ベクトル方程式 $\vec{p} \cdot \vec{p} - \vec{a} \cdot \vec{p} = 0$ は、どのような図形を表すか。

2. 解き方の手順

$\vec{p}$ を位置ベクトルとして、点Pを表すとする。与えられた式は、

$\vec{p} \cdot \vec{p} - \vec{a} \cdot \vec{p} = 0$

$\vec{p} \cdot \vec{p} - \vec{a} \cdot \vec{p} + \frac{1}{4} \vec{a} \cdot \vec{a} - \frac{1}{4} \vec{a} \cdot \vec{a} = 0$

$\vec{p} \cdot \vec{p} - \vec{a} \cdot \vec{p} + \frac{1}{4} \vec{a} \cdot \vec{a} = \frac{1}{4} \vec{a} \cdot \vec{a}$

$\left( \vec{p} - \frac{1}{2} \vec{a} \right) \cdot \left( \vec{p} - \frac{1}{2} \vec{a} \right) = \frac{1}{4} \vec{a} \cdot \vec{a}$

$\left| \vec{p} - \frac{1}{2} \vec{a} \right|^2 = \left| \frac{1}{2} \vec{a} \right|^2$

$\left| \vec{p} - \frac{1}{2} \vec{a} \right| = \left| \frac{1}{2} \vec{a} \right|$

これは、中心が点Aの中点、半径がOAの半分の円を表す。

3. 最終的な答え

中心が線分OAの中点であり、半径が$\frac{1}{2}|\vec{a}|$の円。