問題は、$\theta$ が第4象限の角であるという条件のもとで、以下の2つの場合に $\cos\theta$, $\tan\theta$, $\sin\theta$ の値を求める問題です。 (1) $\sin\theta = -\frac{3}{5}$ のとき、$\cos\theta$ と $\tan\theta$ の値を求める。 (2) $\cos\theta = \frac{1}{3}$ のとき、$\sin\theta$ と $\tan\theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

問題は、$\theta$ が第4象限の角であるという条件のもとで、以下の2つの場合に $\cos\theta$, $\tan\theta$, $\sin\theta$ の値を求める問題です。

(1) $\sin\theta = -\frac{3}{5}$ のとき、$\cos\theta$ と $\tan\theta$ の値を求める。

(2) $\cos\theta = \frac{1}{3}$ のとき、$\sin\theta$ と $\tan\theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\sin\theta = -\frac{3}{5}$ のとき

三角関数の基本公式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を用いて $\cos\theta$ を求める。

$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

$\theta$ は第4象限の角であるため、$\cos\theta > 0$ である。したがって、

$\cos\theta = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$

次に、$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ を用いて $\tan\theta$ を求める。

$\tan\theta = \frac{-\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}$

(2) $\cos\theta = \frac{1}{3}$ のとき

三角関数の基本公式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を用いて $\sin\theta$ を求める。

$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$\theta$ は第4象限の角であるため、$\sin\theta < 0$ である。したがって、

$\sin\theta = -\sqrt{\frac{8}{9}} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$

次に、$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ を用いて $\tan\theta$ を求める。

$\tan\theta = \frac{-\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}} = -2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos\theta = \frac{4}{5}$, $\tan\theta = -\frac{3}{4}$

(2) $\sin\theta = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$, $\tan\theta = -2\sqrt{2}$