$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$ の条件の下で、与えられた$\sin \alpha$、$\cos \beta$、$\cos \alpha$、$\sin \beta$、$\tan \alpha$、$\tan \beta$ の値から、$\sin(\alpha + \beta)$、$\cos(\alpha + \beta)$、$\sin(\alpha - \beta)$、$\cos(\alpha - \beta)$、$\tan(\alpha + \beta)$、$\tan(\alpha - \beta)$の値をそれぞれ求める問題です。

1. 問題の内容

$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$ の条件の下で、与えられた$\sin \alpha$、$\cos \beta$、$\cos \alpha$、$\sin \beta$、$\tan \alpha$、$\tan \beta$ の値から、$\sin(\alpha + \beta)$、$\cos(\alpha + \beta)$、$\sin(\alpha - \beta)$、$\cos(\alpha - \beta)$、$\tan(\alpha + \beta)$、$\tan(\alpha - \beta)$の値をそれぞれ求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\sin \alpha = \frac{1}{3}$, $\cos \beta = \frac{2}{5}$ のとき

まず、$\cos \alpha$ と $\sin \beta$ を求めます。

$\alpha$は第2象限の角なので、$\cos \alpha < 0$です。

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ より、

$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$\cos \alpha = -\sqrt{\frac{8}{9}} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\beta$は第1象限の角なので、$\sin \beta > 0$です。

$\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$ より、

$\sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \beta = 1 - (\frac{2}{5})^2 = 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{25}$

$\sin \beta = \sqrt{\frac{21}{25}} = \frac{\sqrt{21}}{5}$

加法定理より、

$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} + (-\frac{2\sqrt{2}}{3}) \cdot \frac{\sqrt{21}}{5} = \frac{2}{15} - \frac{2\sqrt{42}}{15} = \frac{2 - 2\sqrt{42}}{15}$

$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = (-\frac{2\sqrt{2}}{3}) \cdot \frac{2}{5} - \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{5} = -\frac{4\sqrt{2}}{15} - \frac{\sqrt{21}}{15} = \frac{-4\sqrt{2} - \sqrt{21}}{15}$

(2) $\cos \alpha = -\frac{3}{5}$, $\sin \beta = \frac{5}{13}$ のとき

$\alpha$は第2象限の角なので、$\sin \alpha > 0$です。

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ より、

$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (-\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

$\sin \alpha = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$

$\beta$は第1象限の角なので、$\cos \beta > 0$です。

$\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$ より、

$\cos^2 \beta = 1 - \sin^2 \beta = 1 - (\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$

$\cos \beta = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$

加法定理より、

$\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta = \frac{4}{5} \cdot \frac{12}{13} - (-\frac{3}{5}) \cdot \frac{5}{13} = \frac{48}{65} + \frac{15}{65} = \frac{63}{65}$

$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta = (-\frac{3}{5}) \cdot \frac{12}{13} + \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{13} = -\frac{36}{65} + \frac{20}{65} = -\frac{16}{65}$

(3) $\tan \alpha = -2$, $\tan \beta = 1$ のとき

加法定理より、

$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = \frac{-2 + 1}{1 - (-2)(1)} = \frac{-1}{1 + 2} = -\frac{1}{3}$

$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta} = \frac{-2 - 1}{1 + (-2)(1)} = \frac{-3}{1 - 2} = \frac{-3}{-1} = 3$

3. 最終的な答え

(1) $\sin(\alpha + \beta) = \frac{2 - 2\sqrt{42}}{15}$, $\cos(\alpha + \beta) = \frac{-4\sqrt{2} - \sqrt{21}}{15}$

(2) $\sin(\alpha - \beta) = \frac{63}{65}$, $\cos(\alpha - \beta) = -\frac{16}{65}$

(3) $\tan(\alpha + \beta) = -\frac{1}{3}$, $\tan(\alpha - \beta) = 3$