三角形ABCがあり、頂点A, B, Cの位置ベクトルがそれぞれ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ で与えられています。辺ABの中点をD、辺BCを2:1に内分する点をE、辺CAを3:1に内分する点をFとします。 (1) ベクトル $\vec{BE}$ を $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ を用いて表してください。 (2) ベクトル $\vec{DF}$ を $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ を用いて表してください。

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、頂点A, B, Cの位置ベクトルがそれぞれ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ で与えられています。辺ABの中点をD、辺BCを2:1に内分する点をE、辺CAを3:1に内分する点をFとします。

(1) ベクトル $\vec{BE}$ を $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ を用いて表してください。

(2) ベクトル $\vec{DF}$ を $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ を用いて表してください。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{BE}$ について

まず、点Eの位置ベクトル $\vec{e}$ を求めます。Eは辺BCを2:1に内分する点なので、

$\vec{e} = \frac{1 \cdot \vec{b} + 2 \cdot \vec{c}}{2+1} = \frac{\vec{b} + 2\vec{c}}{3}$

したがって、

$\vec{BE} = \vec{e} - \vec{b} = \frac{\vec{b} + 2\vec{c}}{3} - \vec{b} = \frac{\vec{b} + 2\vec{c} - 3\vec{b}}{3} = \frac{-2\vec{b} + 2\vec{c}}{3}$

$\vec{BE} = \frac{2}{3}(\vec{c} - \vec{b})$

(2) $\vec{DF}$ について

点Dの位置ベクトル $\vec{d}$ を求めます。Dは辺ABの中点なので、

$\vec{d} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$

点Fの位置ベクトル $\vec{f}$ を求めます。Fは辺CAを3:1に内分する点なので、

$\vec{f} = \frac{1 \cdot \vec{c} + 3 \cdot \vec{a}}{3+1} = \frac{\vec{c} + 3\vec{a}}{4}$

したがって、

$\vec{DF} = \vec{f} - \vec{d} = \frac{\vec{c} + 3\vec{a}}{4} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} = \frac{\vec{c} + 3\vec{a} - 2\vec{a} - 2\vec{b}}{4} = \frac{\vec{a} - 2\vec{b} + \vec{c}}{4}$

$\vec{DF} = \frac{1}{4}\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{4}\vec{c}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{BE} = \frac{2}{3}\vec{c} - \frac{2}{3}\vec{b}$

(2) $\vec{DF} = \frac{1}{4}\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{4}\vec{c}$