点A(4, -2)を通り、ベクトル $\vec{d}=(2, -1)$ に平行な直線の媒介変数表示を求め、さらに媒介変数 $t$ を消去した式を求める問題です。

1. 問題の内容

点A(4, -2)を通り、ベクトル $\vec{d}=(2, -1)$ に平行な直線の媒介変数表示を求め、さらに媒介変数 $t$ を消去した式を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 媒介変数表示

直線の媒介変数表示は、点Aの位置ベクトル $\vec{a}$ と方向ベクトル $\vec{d}$、媒介変数 $t$ を用いて、

$\vec{p} = \vec{a} + t\vec{d}$

と表されます。ここで、$\vec{p}$ は直線上の点の位置ベクトルです。

点A(4, -2) の位置ベクトルは $\vec{a} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix}$ であり、方向ベクトルは $\vec{d} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ なので、

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$

これを成分で表すと、

$x = 4 + 2t$

$y = -2 - t$

これが媒介変数表示です。

(2) $t$ の消去

$x = 4 + 2t$ より $2t = x - 4$, よって $t = \frac{x-4}{2}$

これを $y = -2 - t$ に代入すると、

$y = -2 - \frac{x-4}{2}$

$y = -2 - \frac{1}{2}x + 2$

$y = -\frac{1}{2}x$

3. 最終的な答え

媒介変数表示：

$x = 4 + 2t$

$y = -2 - t$

$t$ を消去した式：

$y = -\frac{1}{2}x$