与えられた問題は、不定積分 $\int \sin(\frac{2}{3}x + \frac{\pi}{6}) dx$ を計算することです。

1. 問題の内容

与えられた問題は、不定積分 $\int \sin(\frac{2}{3}x + \frac{\pi}{6}) dx$ を計算することです。

2. 解き方の手順

積分を実行するために、置換積分を用います。

まず、$u = \frac{2}{3}x + \frac{\pi}{6}$ と置きます。

次に、両辺を $x$ で微分して、$du$ を求めます。

$\frac{du}{dx} = \frac{2}{3}$

したがって、

$du = \frac{2}{3} dx$

$dx = \frac{3}{2} du$

これで積分を $u$ について書き換えることができます。

$\int \sin(\frac{2}{3}x + \frac{\pi}{6}) dx = \int \sin(u) \frac{3}{2} du = \frac{3}{2} \int \sin(u) du$

$\sin(u)$ の積分は $-\cos(u)$ なので、

$\frac{3}{2} \int \sin(u) du = \frac{3}{2} (-\cos(u)) + C = -\frac{3}{2} \cos(u) + C$

最後に、$u$ を元の変数 $x$ に戻します。

$-\frac{3}{2} \cos(u) + C = -\frac{3}{2} \cos(\frac{2}{3}x + \frac{\pi}{6}) + C$

3. 最終的な答え

したがって、積分結果は次のようになります。

$-\frac{3}{2} \cos(\frac{2}{3}x + \frac{\pi}{6}) + C$