定積分 $\int_{-\pi}^{\pi} (\sin x + \cos x + x + 1) dx$ を求めよ。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-\pi}^{\pi} (\sin x + \cos x + x + 1) dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、積分を分解します。

$\int_{-\pi}^{\pi} (\sin x + \cos x + x + 1) dx = \int_{-\pi}^{\pi} \sin x dx + \int_{-\pi}^{\pi} \cos x dx + \int_{-\pi}^{\pi} x dx + \int_{-\pi}^{\pi} 1 dx$

次に、それぞれの積分を計算します。

* $\int_{-\pi}^{\pi} \sin x dx = [-\cos x]_{-\pi}^{\pi} = -\cos(\pi) - (-\cos(-\pi)) = -(-1) - (-(-1)) = 1 - 1 = 0$

* $\int_{-\pi}^{\pi} \cos x dx = [\sin x]_{-\pi}^{\pi} = \sin(\pi) - \sin(-\pi) = 0 - 0 = 0$

* $\int_{-\pi}^{\pi} x dx = [\frac{1}{2}x^2]_{-\pi}^{\pi} = \frac{1}{2}(\pi^2) - \frac{1}{2}(-\pi)^2 = \frac{1}{2}\pi^2 - \frac{1}{2}\pi^2 = 0$

* $\int_{-\pi}^{\pi} 1 dx = [x]_{-\pi}^{\pi} = \pi - (-\pi) = 2\pi$

したがって、

$\int_{-\pi}^{\pi} (\sin x + \cos x + x + 1) dx = 0 + 0 + 0 + 2\pi = 2\pi$

3. 最終的な答え

$2\pi$