線積分 $\int_C (2x-y+8)dx + (2x+y-8)dy$ を計算します。ここで、$C$ は円 $x^2+(y-3)^2 = 36$ を左回りに一周する経路です。

1. 問題の内容

線積分 $\int_C (2x-y+8)dx + (2x+y-8)dy$ を計算します。ここで、$C$ は円 $x^2+(y-3)^2 = 36$ を左回りに一周する経路です。

2. 解き方の手順

グリーンの定理を利用します。グリーンの定理は、平面領域 $D$ の境界 $C$ (正の向き) に対して、以下の式が成り立つというものです。

$$\oint_C Pdx + Qdy = \iint_D (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})dA$$

ここで、$P = 2x - y + 8$、$Q = 2x + y - 8$ です。

まず、偏微分を計算します。

$\frac{\partial P}{\partial y} = -1$

$\frac{\partial Q}{\partial x} = 2$

したがって、

$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 2 - (-1) = 3$

線積分は、以下の二重積分に変換されます。

$$\oint_C (2x-y+8)dx + (2x+y-8)dy = \iint_D 3 dA = 3 \iint_D dA$$

$\iint_D dA$ は領域 $D$ の面積を表します。$D$ は円 $x^2 + (y-3)^2 = 36 = 6^2$ であり、半径が 6 の円です。したがって、面積は $\pi r^2 = \pi (6^2) = 36\pi$ です。

したがって、

$$3 \iint_D dA = 3 (36\pi) = 108\pi$$

3. 最終的な答え

$108\pi$