定積分 $\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx$ を計算します。

## 回答

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

(1) 定積分の性質を利用する：

$I = \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx$とします。

$x = \pi - t$ と置換すると、$dx = -dt$であり、積分範囲は$x: 0 \rightarrow \pi$に対し、$t: \pi \rightarrow 0$となります。よって、

$I = \int_{\pi}^{0} \frac{(\pi - t) \sin (\pi - t)}{1 + \cos^2 (\pi - t)} (-dt) = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - t) \sin (\pi - t)}{1 + \cos^2 (\pi - t)} dt$

$\sin (\pi - t) = \sin t$、$\cos (\pi - t) = -\cos t$より、

$I = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - x) \sin x}{1 + (-\cos x)^2} dx = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - x) \sin x}{1 + \cos^2 x} dx$

したがって、

$I = \int_{0}^{\pi} \frac{\pi \sin x}{1 + \cos^2 x} dx - \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \int_{0}^{\pi} \frac{\pi \sin x}{1 + \cos^2 x} dx - I$

$2I = \int_{0}^{\pi} \frac{\pi \sin x}{1 + \cos^2 x} dx$

$I = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} dx$

(2) 置換積分を行う：

$u = \cos x$と置換すると、$du = -\sin x dx$であり、積分範囲は$x: 0 \rightarrow \pi$に対し、$u: 1 \rightarrow -1$となります。よって、

$I = \frac{\pi}{2} \int_{1}^{-1} \frac{-du}{1 + u^2} = \frac{\pi}{2} \int_{-1}^{1} \frac{du}{1 + u^2}$

$\int \frac{1}{1+u^2} du = \arctan u + C$より、

$I = \frac{\pi}{2} [\arctan u]_{-1}^{1} = \frac{\pi}{2} (\arctan(1) - \arctan(-1)) = \frac{\pi}{2} (\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4})) = \frac{\pi}{2} (\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi^2}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi^2}{4}$