与えられた式 $\frac{1}{1+\sqrt{2}}$ を計算し、分母を有理化する。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{1}{1+\sqrt{2}}$ を計算し、分母を有理化する。

2. 解き方の手順

分母を有理化するために、$1+\sqrt{2}$ の共役である $1-\sqrt{2}$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{1}{1+\sqrt{2}} = \frac{1}{1+\sqrt{2}} \cdot \frac{1-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}$

次に、分母を計算します。

$(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2}) = 1^2 - (\sqrt{2})^2 = 1 - 2 = -1$

次に、分子を計算します。

$1 \cdot (1 - \sqrt{2}) = 1 - \sqrt{2}$

したがって、

$\frac{1}{1+\sqrt{2}} = \frac{1 - \sqrt{2}}{-1} = -1 + \sqrt{2} = \sqrt{2} - 1$

3. 最終的な答え

$\sqrt{2}-1$