直線 $l$ の式が $y = \frac{5}{2}x$ で、反比例の曲線 $m$ の式が $y = \frac{a}{x}$ ($x > 0$) である。点Aは直線 $l$ と曲線 $m$ の交点で、$x$ 座標が6である。点Bは曲線 $m$ 上の点で、$y$ 座標が9である。 (1) $a$ の値を求める。 (2) $\triangle AOB$ の面積を求める。 (3) 点Aを通り、$y$ 軸に平行な直線と線分OBとの交点をPとするとき、$\triangle APB$ の面積を求める。

1. 問題の内容

直線 $l$ の式が $y = \frac{5}{2}x$ で、反比例の曲線 $m$ の式が $y = \frac{a}{x}$ ($x > 0$) である。点Aは直線 $l$ と曲線 $m$ の交点で、$x$ 座標が6である。点Bは曲線 $m$ 上の点で、$y$ 座標が9である。

(1) $a$ の値を求める。

(2) $\triangle AOB$ の面積を求める。

(3) 点Aを通り、$y$ 軸に平行な直線と線分OBとの交点をPとするとき、$\triangle APB$ の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点Aの $x$ 座標が6であるから、直線 $l$ の式 $y = \frac{5}{2}x$ に $x = 6$ を代入して、点Aの $y$ 座標を求める。

$y = \frac{5}{2} \times 6 = 15$

よって、点Aの座標は (6, 15) である。

点Aは曲線 $m$ 上の点でもあるから、曲線 $m$ の式 $y = \frac{a}{x}$ に $x = 6$, $y = 15$ を代入して、$a$ の値を求める。

$15 = \frac{a}{6}$

$a = 15 \times 6 = 90$

(2) 点Bは曲線 $m$ 上の点で、$y$ 座標が9であるから、曲線 $m$ の式 $y = \frac{90}{x}$ に $y = 9$ を代入して、点Bの $x$ 座標を求める。

$9 = \frac{90}{x}$

$x = \frac{90}{9} = 10$

よって、点Bの座標は (10, 9) である。

$\triangle AOB$ の面積を求めるために、まず直線OBの式を求める。直線OBは原点を通るので $y = kx$ と置ける。点B(10,9)を通るので、

$9 = 10k$

$k = \frac{9}{10}$

よって直線OBの式は $y = \frac{9}{10}x$。

$\triangle AOB$ の面積は、点Aからx軸へ垂線を下ろし、点Bからx軸へ垂線を下ろしてできる台形から、2つの三角形を引いて求める。

しかし、ここでは原点Oから直線ABまでの距離を高さとして、ABを底辺とすると、計算が非常に複雑になる。

別の方法として、$y$軸上に点C(0, 15)、点D(0, 9)を取ると、

$\triangle AOB = \triangle AOC + \triangle BOC$。

$\triangle AOC$ の面積は $\frac{1}{2} \times 15 \times 6 = 45$。

$\triangle BOC$ の面積は $\frac{1}{2} \times 9 \times 10 = 45$。

台形ABDCの面積は、$\frac{1}{2} \times (6 + 10) \times (15 - 9) = \frac{1}{2} \times 16 \times 6 = 48$

計算ミスが見られたため、ベクトルで求める方法を使用する。

$\vec{OA} = (6, 15), \vec{OB} = (10, 9)$

$\triangle AOB = \frac{1}{2} |(6 \times 9 - 15 \times 10)| = \frac{1}{2} |54 - 150| = \frac{1}{2} |-96| = \frac{1}{2} \times 96 = 48$

(3) 点Aを通り $y$ 軸に平行な直線は $x = 6$ である。線分OBの式は $y = \frac{9}{10}x$ である。

点Pは直線 $x = 6$ と線分OBの交点なので、$x = 6$ を $y = \frac{9}{10}x$ に代入すると、

$y = \frac{9}{10} \times 6 = \frac{54}{10} = \frac{27}{5} = 5.4$

よって、点Pの座標は (6, 5.4) である。

$\triangle APB$ の面積を求める。

点Aの座標は (6, 15)、点Bの座標は (10, 9)、点Pの座標は (6, 5.4) である。

線分APの長さは $15 - 5.4 = 9.6$ である。

$\triangle APB$ の底辺をAPとすると、高さは点Bと線分APのx座標の差で $10 - 6 = 4$ となる。

よって、$\triangle APB$ の面積は $\frac{1}{2} \times 9.6 \times 4 = 4.8 \times 4 = 19.2$

3. 最終的な答え

(1) $a = 90$

(2) $\triangle AOB = 48$

(3) $\triangle APB = 19.2$