数列 $\{(x-1)^n\}$ が収束するような $x$ の値の範囲を求め、そのときの極限値を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{(x-1)^n\}$ が収束するような $x$ の値の範囲を求め、そのときの極限値を求める。

2. 解き方の手順

数列 $\{r^n\}$ が収束するための条件は、

$-1 < r \leq 1$

である。この条件を、$r = x-1$ に適用する。

$-1 < x-1 \leq 1$

各辺に $1$ を加える。

$-1+1 < x-1+1 \leq 1+1$

$0 < x \leq 2$

$x-1 = 1$ のとき、$x=2$ であり、極限値は $1$ である。

$x-1 = r$, $-1 < r < 1$ のとき、極限値は $0$ である。

$0 < x < 2$ のとき、$-1 < x-1 < 1$ であり、極限値は $0$ である。

まとめると、

(i) $0 < x < 2$ のとき、数列の極限は $0$ に収束する。

(ii) $x = 2$ のとき、数列の極限は $1$ に収束する。

よって、数列 $\{(x-1)^n\}$ が収束する $x$ の範囲は $0 < x \le 2$ である。

3. 最終的な答え

$x$ の値の範囲: $0 < x \leq 2$

$0 < x < 2$ のとき、極限値は $0$。

$x = 2$ のとき、極限値は $1$。