関数 $y = x^4 - 4x^2 + 5$ の $-2 \le x \le 1$ における最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = x^4 - 4x^2 + 5$ の $-2 \le x \le 1$ における最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$t = x^2$ とおくと、$0 \le t \le 4$ となる。

このとき、$y$ は $t$ の関数として $y = t^2 - 4t + 5$ と表せる。

$y = t^2 - 4t + 5$ を平方完成すると、

$y = (t - 2)^2 + 1$

となる。

$t$ の範囲は $0 \le t \le 4$ なので、この範囲における $y$ の最大値と最小値を考える。

$y$ は $t = 2$ のとき最小値 $1$ をとる。

$t = 0$ のとき $y = (0 - 2)^2 + 1 = 4 + 1 = 5$

$t = 4$ のとき $y = (4 - 2)^2 + 1 = 4 + 1 = 5$

したがって、$0 \le t \le 4$ における $y$ の最大値は $5$、最小値は $1$ である。

$t = x^2$ より、

$t = 0$ のとき、$x^2 = 0$ なので $x = 0$

$t = 2$ のとき、$x^2 = 2$ なので $x = \pm \sqrt{2}$

$t = 4$ のとき、$x^2 = 4$ なので $x = \pm 2$

ここで、$x$ の範囲は $-2 \le x \le 1$ なので、$x = \sqrt{2}$ は範囲外。

したがって、$x = 0$ のとき $y = 5$, $x = -\sqrt{2}$ のとき $y = 1$, $x = -2$ のとき $y = 5$。

$x=1$ のとき、$y = 1^4 - 4(1)^2 + 5 = 1 - 4 + 5 = 2$。

したがって、$-2 \le x \le 1$ における $y$ の最大値は $5$ ($x = -2, 0$)、最小値は $1$ ($x = -\sqrt{2}$) である。

3. 最終的な答え

最大値: 5 (x = -2, 0)

最小値: 1 (x = -√2)