関数 $y = x - \cos x$ $(0 < x < \pi)$ の凹凸を調べ、変曲点の座標を求めます。

はい、承知しました。以下の形式で、与えられた問題の解答を作成します。今回は、(3) $y = x - \cos x$ $(0 < x < \pi)$について解答します。

1. 問題の内容

関数 $y = x - \cos x$ $(0 < x < \pi)$ の凹凸を調べ、変曲点の座標を求めます。

2. 解き方の手順

(1) まず、与えられた関数を微分して、$y'$を求めます。

$y' = \frac{d}{dx}(x - \cos x) = 1 + \sin x$

(2) 次に、$y'$ をもう一度微分して、$y''$を求めます。

$y'' = \frac{d}{dx}(1 + \sin x) = \cos x$

(3) $y'' = 0$ となる $x$ を求めます。これは変曲点の候補となる点です。

$\cos x = 0$

$0 < x < \pi$ の範囲で、$\cos x = 0$ となるのは、$x = \frac{\pi}{2}$ のときです。

(4) $y''$ の符号の変化を調べます。

* $0 < x < \frac{\pi}{2}$ のとき、$\cos x > 0$ なので、$y'' > 0$。したがって、この範囲では下に凸です。

* $\frac{\pi}{2} < x < \pi$ のとき、$\cos x < 0$ なので、$y'' < 0$。したがって、この範囲では上に凸です。

(5) $x = \frac{\pi}{2}$ の前後で $y''$ の符号が変化するので、変曲点が存在します。

$x = \frac{\pi}{2}$ のとき、$y = \frac{\pi}{2} - \cos \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$。

したがって、変曲点の座標は $(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ です。

3. 最終的な答え

* $0 < x < \frac{\pi}{2}$ のとき、下に凸

* $\frac{\pi}{2} < x < \pi$ のとき、上に凸

* 変曲点の座標: $(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$