次の3つの極限を求めます。 (1) $\lim_{n \to \infty} \frac{5^n}{4^n + 2^n}$ (2) $\lim_{n \to \infty} \frac{2^n - 3^n}{3^n + 2^n}$ (3) $\lim_{n \to \infty} \{(-3)^n + 2^{2n}\}$

はい、承知いたしました。以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

次の3つの極限を求めます。

(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{5^n}{4^n + 2^n}$

(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{2^n - 3^n}{3^n + 2^n}$

(3) $\lim_{n \to \infty} \{(-3)^n + 2^{2n}\}$

2. 解き方の手順

(1)

$4^n$で分母分子を割ります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{5^n}{4^n + 2^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(\frac{5}{4})^n}{1 + (\frac{2}{4})^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(\frac{5}{4})^n}{1 + (\frac{1}{2})^n}$

$n \to \infty$のとき、$(\frac{5}{4})^n \to \infty$, $(\frac{1}{2})^n \to 0$なので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{(\frac{5}{4})^n}{1 + (\frac{1}{2})^n} = \infty$

(2)

$3^n$で分母分子を割ります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{2^n - 3^n}{3^n + 2^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(\frac{2}{3})^n - 1}{1 + (\frac{2}{3})^n}$

$n \to \infty$のとき、$(\frac{2}{3})^n \to 0$なので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{(\frac{2}{3})^n - 1}{1 + (\frac{2}{3})^n} = \frac{0 - 1}{1 + 0} = -1$

(3)

$2^{2n}$は$4^n$なので、$\lim_{n \to \infty} \{(-3)^n + 2^{2n}\} = \lim_{n \to \infty} \{(-3)^n + 4^n\}$

$n$が偶数のとき、$(-3)^n = 3^n$なので、$\lim_{n \to \infty} \{3^n + 4^n\} = \infty$

$n$が奇数のとき、$(-3)^n = -3^n$なので、$\lim_{n \to \infty} \{-3^n + 4^n\} = \infty$

したがって、$\lim_{n \to \infty} \{(-3)^n + 2^{2n}\} = \infty$

3. 最終的な答え

(1) $\infty$

(2) $-1$

(3) $\infty$