以下の3つの数列の極限を $n \to \infty$ の場合に求めます。 (1) $n^2 - n$ (2) $\frac{n+1}{3n^2-2}$ (3) $\frac{5n^2}{-2n^2+1}$

はい、承知いたしました。与えられた数列の極限を求める問題ですね。

1. 問題の内容

以下の3つの数列の極限を $n \to \infty$ の場合に求めます。

(1) $n^2 - n$

(2) $\frac{n+1}{3n^2-2}$

(3) $\frac{5n^2}{-2n^2+1}$

2. 解き方の手順

(1) $n^2 - n$ の極限

$n$ が非常に大きいとき、$n^2$ が $n$ よりも圧倒的に大きくなるため、$n^2 - n$ は正の無限大に発散します。

$n^2 - n = n^2(1 - \frac{1}{n})$ と変形できます。 $n \to \infty$ のとき $\frac{1}{n} \to 0$ なので、$1 - \frac{1}{n} \to 1$ となります。よって、$n^2(1 - \frac{1}{n}) \to \infty$ です。

(2) $\frac{n+1}{3n^2-2}$ の極限

分子と分母を $n^2$ で割ります。

$\frac{n+1}{3n^2-2} = \frac{\frac{n}{n^2} + \frac{1}{n^2}}{\frac{3n^2}{n^2} - \frac{2}{n^2}} = \frac{\frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}}{3 - \frac{2}{n^2}}$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{1}{n} \to 0$ かつ $\frac{1}{n^2} \to 0$ なので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}}{3 - \frac{2}{n^2}} = \frac{0 + 0}{3 - 0} = \frac{0}{3} = 0$

(3) $\frac{5n^2}{-2n^2+1}$ の極限

分子と分母を $n^2$ で割ります。

$\frac{5n^2}{-2n^2+1} = \frac{\frac{5n^2}{n^2}}{\frac{-2n^2}{n^2} + \frac{1}{n^2}} = \frac{5}{-2 + \frac{1}{n^2}}$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{1}{n^2} \to 0$ なので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{5}{-2 + \frac{1}{n^2}} = \frac{5}{-2 + 0} = \frac{5}{-2} = -\frac{5}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\infty$ (正の無限大)

(2) $0$

(3) $-\frac{5}{2}$