与えられた定積分 $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}} \cos(t)\cos(3t) dt$ を計算します。

はい、承知いたしました。画像に書かれた数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた定積分 $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}} \cos(t)\cos(3t) dt$ を計算します。

2. 解き方の手順

積和の公式を用いて、被積分関数を変形します。

$\cos(A)\cos(B) = \frac{1}{2}[\cos(A+B) + \cos(A-B)]$

これを用いると、

$\cos(t)\cos(3t) = \frac{1}{2}[\cos(4t) + \cos(-2t)] = \frac{1}{2}[\cos(4t) + \cos(2t)]$

したがって、積分は

$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}} \cos(t)\cos(3t) dt = \frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}} [\cos(4t) + \cos(2t)] dt$

$\frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}} \cos(4t) dt + \frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}} \cos(2t) dt$

$\frac{1}{2} [\frac{1}{4} \sin(4t)]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}} + \frac{1}{2} [\frac{1}{2} \sin(2t)]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}}$

$\frac{1}{8} [\sin(\frac{20\pi}{6}) - \sin(\frac{4\pi}{6})] + \frac{1}{4} [\sin(\frac{10\pi}{6}) - \sin(\frac{2\pi}{6})]$

$\frac{1}{8} [\sin(\frac{10\pi}{3}) - \sin(\frac{2\pi}{3})] + \frac{1}{4} [\sin(\frac{5\pi}{3}) - \sin(\frac{\pi}{3})]$

$\sin(\frac{10\pi}{3}) = \sin(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin(\frac{5\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{1}{8}[-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}] + \frac{1}{4}[-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}]$

$\frac{1}{8}[-\sqrt{3}] + \frac{1}{4}[-\sqrt{3}] = -\frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{\sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{2\sqrt{3}}{8} = -\frac{3\sqrt{3}}{8}$

3. 最終的な答え

$-\frac{3\sqrt{3}}{8}$