定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{8}} \sin^2 2x \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{8}} \sin^2 2x \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\sin^2 2x$ を倍角の公式を用いて変形します。

$$\sin^2 2x = \frac{1 - \cos 4x}{2}$$

したがって、積分は

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{8}} \frac{1 - \cos 4x}{2} \, dx$$

となります。これを計算します。

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{8}} \frac{1 - \cos 4x}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{8}} (1 - \cos 4x) \, dx = \frac{1}{2} \left[ x - \frac{1}{4}\sin 4x \right]_{0}^{\frac{\pi}{8}}$$

$$= \frac{1}{2} \left[ \left(\frac{\pi}{8} - \frac{1}{4}\sin \left(4 \cdot \frac{\pi}{8}\right)\right) - \left(0 - \frac{1}{4}\sin 0\right) \right] = \frac{1}{2} \left[ \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4}\sin \frac{\pi}{2} \right] = \frac{1}{2} \left[ \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4} \right] = \frac{\pi}{16} - \frac{1}{8}$$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{16} - \frac{1}{8}$