(1) 関数 $f(x)$ が $f(x) = 3x^2 + \int_0^1 f(t) dt + 1$ を満たすとき、$f(x)$ を求めよ。 (2) 関数 $g(x)$ が、ある定数 $k$ に対して $\int_1^x (3t+1)g(t) dt = 4 \int_k^x g(t) dt + 5x^3 - 3x^2 - 9x - 17$ を満たし、$g(1) = 8$ である。このとき、$g(x)$ と $k$ の値を求めよ。

はい、承知いたしました。画像にある問題のうち、46番の問題を解きます。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x)$ が $f(x) = 3x^2 + \int_0^1 f(t) dt + 1$ を満たすとき、$f(x)$ を求めよ。

(2) 関数 $g(x)$ が、ある定数 $k$ に対して $\int_1^x (3t+1)g(t) dt = 4 \int_k^x g(t) dt + 5x^3 - 3x^2 - 9x - 17$ を満たし、$g(1) = 8$ である。このとき、$g(x)$ と $k$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$\int_0^1 f(t) dt = A$ とおくと、$f(x) = 3x^2 + A + 1$ となる。

この式を $\int_0^1 f(t) dt$ に代入すると、

$A = \int_0^1 (3t^2 + A + 1) dt = [t^3 + (A+1)t]_0^1 = 1 + A + 1 = A + 2$

よって、$A = A + 2$ となり、$0 = 2$ となるので、これは矛盾。

しかし、問題文に誤りがないと仮定すると、積分記号の中に変数 $x$ が含まれていないので、これは定数であるとみなすことができる。

$f(x) = 3x^2 + A + 1$

$A = \int_0^1 (3t^2 + A + 1) dt$

$A = [t^3 + (A+1)t]_0^1 = 1 + A + 1 = A + 2$

$A = A + 2$

移項すると $0 = 2$ となり、矛盾が生じる。

しかし、この問題の本来の意図は、積分を計算して、$A$ に関する方程式を立てて解くことにあると考えられる。

$f(x) = 3x^2 + \int_0^1 f(t) dt + 1$

両辺を $0$ から $1$ まで積分すると、

$\int_0^1 f(x) dx = \int_0^1 (3x^2 + \int_0^1 f(t) dt + 1) dx$

$\int_0^1 f(x) dx = \int_0^1 3x^2 dx + \int_0^1 (\int_0^1 f(t) dt) dx + \int_0^1 1 dx$

$\int_0^1 f(x) dx = [x^3]_0^1 + (\int_0^1 f(t) dt) \int_0^1 dx + [x]_0^1$

$\int_0^1 f(x) dx = 1 + \int_0^1 f(t) dt + 1$

$\int_0^1 f(x) dx = 2 + \int_0^1 f(t) dt$

$A = 2 + A$

$0 = 2$ となり、矛盾が生じる。問題文の記述に誤りがある可能性があります。

(2)

$\int_1^x (3t+1)g(t) dt = 4 \int_k^x g(t) dt + 5x^3 - 3x^2 - 9x - 17$

両辺を $x$ で微分すると、

$(3x+1)g(x) = 4g(x) + 15x^2 - 6x - 9$

$(3x+1-4)g(x) = 15x^2 - 6x - 9$

$(3x-3)g(x) = 15x^2 - 6x - 9$

$3(x-1)g(x) = 3(5x^2 - 2x - 3)$

$g(x) = \frac{5x^2 - 2x - 3}{x-1} = \frac{(5x+3)(x-1)}{x-1}$

$g(x) = 5x + 3$ （ただし $x \neq 1$)

しかし、$g(1) = 8$ より、$g(x) = 5x+3$ となります。

$\int_1^x (3t+1)(5t+3) dt = 4 \int_k^x (5t+3) dt + 5x^3 - 3x^2 - 9x - 17$

$\int_1^x (15t^2 + 14t + 3) dt = 4 \int_k^x (5t+3) dt + 5x^3 - 3x^2 - 9x - 17$

$[5t^3 + 7t^2 + 3t]_1^x = 4 [\frac{5}{2}t^2 + 3t]_k^x + 5x^3 - 3x^2 - 9x - 17$

$5x^3 + 7x^2 + 3x - (5 + 7 + 3) = 4(\frac{5}{2}x^2 + 3x - (\frac{5}{2}k^2 + 3k)) + 5x^3 - 3x^2 - 9x - 17$

$5x^3 + 7x^2 + 3x - 15 = 10x^2 + 12x - 10k^2 - 12k + 5x^3 - 3x^2 - 9x - 17$

$5x^3 + 7x^2 + 3x - 15 = 5x^3 + 7x^2 + 3x - 10k^2 - 12k - 17$

$-15 = -10k^2 - 12k - 17$

$10k^2 + 12k + 2 = 0$

$5k^2 + 6k + 1 = 0$

$(5k+1)(k+1) = 0$

$k = -1, -\frac{1}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = 3x^2 + A + 1$ ただし、Aは存在しない（問題文に矛盾がある可能性あり）

(2) $g(x) = 5x+3$, $k = -1, -\frac{1}{5}$