問題は、与えられた三角形ABCについて、残りの角の大きさ、辺の長さ、外接円の半径R、および面積Sを求めることです。問題は2つの部分に分かれており、それぞれ異なる情報が与えられています。 (1) $b = 2$, $c = 2\sqrt{3}$, $B = 30^\circ$ (2) $a = 2$, $b = \sqrt{6}$, $c = 1 + \sqrt{3}$

1. 問題の内容

問題は、与えられた三角形ABCについて、残りの角の大きさ、辺の長さ、外接円の半径R、および面積Sを求めることです。問題は2つの部分に分かれており、それぞれ異なる情報が与えられています。

(1) $b = 2$, $c = 2\sqrt{3}$, $B = 30^\circ$

(2) $a = 2$, $b = \sqrt{6}$, $c = 1 + \sqrt{3}$

2. 解き方の手順

(1) $b = 2$, $c = 2\sqrt{3}$, $B = 30^\circ$の場合

* **正弦定理を使ってCを求める:**

正弦定理より、

$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

$\frac{2}{\sin 30^\circ} = \frac{2\sqrt{3}}{\sin C}$

$\sin C = \frac{2\sqrt{3} \sin 30^\circ}{2} = \frac{2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$C = 60^\circ$ または $C = 120^\circ$

もし$C = 60^\circ$の場合、$A = 180^\circ - (30^\circ + 60^\circ) = 90^\circ$.

もし$C = 120^\circ$の場合、$A = 180^\circ - (30^\circ + 120^\circ) = 30^\circ$.

* **A=90°の場合のa, R, Sを求める：**

$a = \frac{b \sin A}{\sin B} = \frac{2 \sin 90^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{2 \cdot 1}{1/2} = 4$

$R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{4}{2\sin 90^\circ} = \frac{4}{2} = 2$

$S = \frac{1}{2}bc \sin A = \frac{1}{2}(2)(2\sqrt{3}) \sin 90^\circ = 2\sqrt{3}$

* **A=30°の場合のa, R, Sを求める：**

$a = \frac{b \sin A}{\sin B} = \frac{2 \sin 30^\circ}{\sin 30^\circ} = 2$

$R = \frac{b}{2\sin B} = \frac{2}{2 \sin 30^\circ} = \frac{2}{2 \cdot (1/2)} = 2$

$S = \frac{1}{2}bc \sin A = \frac{1}{2}(2)(2\sqrt{3}) \sin 30^\circ = \sqrt{3}$

(2) $a = 2$, $b = \sqrt{6}$, $c = 1 + \sqrt{3}$の場合

* **余弦定理を使ってAを求める:**

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{(\sqrt{6})^2 + (1 + \sqrt{3})^2 - 2^2}{2\sqrt{6}(1+\sqrt{3})} = \frac{6 + 1 + 2\sqrt{3} + 3 - 4}{2\sqrt{6} + 2\sqrt{18}} = \frac{6+2\sqrt{3}}{2\sqrt{6} + 6\sqrt{2}} = \frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{6} + 3\sqrt{2}} = \frac{(3+\sqrt{3})(\sqrt{6}-3\sqrt{2})}{6-18} = \frac{3\sqrt{6} - 9\sqrt{2} + \sqrt{18} - 3\sqrt{6}}{-12} = \frac{-9\sqrt{2} + 3\sqrt{2}}{-12} = \frac{-6\sqrt{2}}{-12} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$A = 45^\circ$

* **余弦定理を使ってBを求める:**

$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{2^2 + (1+\sqrt{3})^2 - (\sqrt{6})^2}{2(2)(1+\sqrt{3})} = \frac{4 + 1 + 2\sqrt{3} + 3 - 6}{4(1+\sqrt{3})} = \frac{2+2\sqrt{3}}{4(1+\sqrt{3})} = \frac{2(1+\sqrt{3})}{4(1+\sqrt{3})} = \frac{1}{2}$

$B = 60^\circ$

* **Cを求める:**

$C = 180^\circ - (45^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$

* **Rを求める:**

$R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{2}{2\sin 45^\circ} = \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

* **Sを求める:**

$S = \frac{1}{2}ac \sin B = \frac{1}{2}(2)(1+\sqrt{3})\sin 60^\circ = (1+\sqrt{3})\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3} + 3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) の場合:

* もし$C = 60^\circ$の場合: $A = 90^\circ$, $a = 4$, $R = 2$, $S = 2\sqrt{3}$.

* もし$C = 120^\circ$の場合: $A = 30^\circ$, $a = 2$, $R = 2$, $S = \sqrt{3}$.

(2) の場合:

* $A = 45^\circ$, $B = 60^\circ$, $C = 75^\circ$, $R = \sqrt{2}$, $S = \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$