$a=3$, $b=6$とし、$h(x) = f(x) + g(x)$とする。$-1 \le x \le \frac{1}{2}$ の範囲における関数 $h(x)$ の最小値を求める問題。$t = 8^x$ とおき、$2^{3x}$, $2^{6x}$ を $t$ で表したり、$h(x)$ を $t$ で表したり、$x$ の範囲から $t$ の範囲を求めたり、最終的に $h(x)$ の最小値や、ある$h(x)$の値を与える $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

$a=3$, $b=6$とし、$h(x) = f(x) + g(x)$とする。$-1 \le x \le \frac{1}{2}$ の範囲における関数 $h(x)$ の最小値を求める問題。$t = 8^x$ とおき、$2^{3x}$, $2^{6x}$ を $t$ で表したり、$h(x)$ を $t$ で表したり、$x$ の範囲から $t$ の範囲を求めたり、最終的に $h(x)$ の最小値や、ある$h(x)$の値を与える $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$t = 8^x = (2^3)^x = 2^{3x}$ であるから、カに入るのは $t$ である。

次に、$2^{6x} = (2^{3x})^2 = t^2$ であるから、キに入るのは $t^2$ である。

$x$ が $-1 \le x \le \frac{1}{2}$ の範囲を動くとき、$t = 8^x$ のとり得る値の範囲を考える。

$x = -1$ のとき、$t = 8^{-1} = \frac{1}{8}$。$x = \frac{1}{2}$ のとき、$t = 8^{\frac{1}{2}} = (2^3)^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}} = 2 \sqrt{2}$。

したがって、$\frac{1}{8} \le t \le 2\sqrt{2}$ である。

よって、クは $\frac{1}{8}$、コは $2$、サは $2$ となる。

$h(x) = f(x) + g(x) = a \cdot 4^x + b \cdot 2^x = 3 \cdot (2^2)^x + 6 \cdot 2^x = 3 \cdot (2^x)^2 + 6 \cdot 2^x$

$2^x = (8^{\frac{1}{3}})^x = (8^x)^{\frac{1}{3}} = t^{\frac{1}{3}}$ より、 $h(x) = 3t^{\frac{2}{3}} + 6t^{\frac{1}{3}}$

$t = 8^x$ のとき、$2^x = t^{1/3}$ であり、$4^x = t^{2/3}$ である。

問題文に $h(x)$ を $t$ で表すことが出来ると書いてあるので、$h(x) = at^{2/3} + bt^{1/3} = 3 t^{2/3} + 6 t^{1/3}$

$t = 8^x = (2^3)^x = (2^x)^3$. よって$2^x = t^{1/3}$

したがって、$h(x) = 3 \cdot 4^x + 6 \cdot 2^x = 3 \cdot (2^x)^2 + 6 \cdot 2^x = 3(t^{1/3})^2 + 6t^{1/3} = 3t^{2/3} + 6t^{1/3}$

ここで、$\frac{1}{8} \le t \le 2 \sqrt{2}$ であり、$t^{1/3} = u$ とおくと、$u = (8^x)^{1/3} = (2^{3x})^{1/3} = 2^x$ である。 $2^{-1} \le 2^x \le 2^{1/2}$, よって$\frac{1}{2} \le u \le \sqrt{2}$.

$h(x) = 3u^2 + 6u = 3(u^2 + 2u) = 3(u^2 + 2u + 1) - 3 = 3(u+1)^2 - 3$

$u = \frac{1}{2}$ の時、 $h(x) = 3(\frac{1}{2} + 1)^2 - 3 = 3(\frac{3}{2})^2 - 3 = 3 \cdot \frac{9}{4} - 3 = \frac{27}{4} - \frac{12}{4} = \frac{15}{4}$.

$u = \sqrt{2}$ の時、$h(x) = 3(\sqrt{2} + 1)^2 - 3 = 3(2 + 2\sqrt{2} + 1) - 3 = 3(3 + 2\sqrt{2}) - 3 = 9 + 6\sqrt{2} - 3 = 6 + 6\sqrt{2}$.

$\frac{1}{8} \le t \le 2\sqrt{2}$ のとき、$h(x) = f(t) = 3 t^{2/3} + 6 t^{1/3}$.

$f'(t) = 2t^{-1/3} + 2t^{-2/3} = 2(t^{-1/3})(1+t^{-1/3})$. $t > 0$ で定義されているから、$f'(t) > 0$ なので、$f(t)$ は単調増加。

$t = \frac{1}{8}$ の時、$h(x)$ は最小値をとる。$h(x) = 3(\frac{1}{8})^{2/3} + 6(\frac{1}{8})^{1/3} = 3(\frac{1}{4}) + 6(\frac{1}{2}) = \frac{3}{4} + 3 = \frac{15}{4}$.

したがって、シは $15$、スは $4$、セは $4$ となる。

$-1 \le x \le \frac{1}{2}$ の範囲において、$h(x)$ がとり得る値のうち、最小の整数は $\frac{15}{4} = 3.75$ なので $4$ である。したがってソタは $4$ である。

$h(x) = 4$ を満たす $x$ の値は $3 (2^x)^2 + 6 \cdot 2^x = 4$. よって、$3(2^x)^2 + 6(2^x) - 4 = 0$

$2^x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 48}}{6} = \frac{-6 \pm \sqrt{84}}{6} = \frac{-3 \pm \sqrt{21}}{3}$.

$2^x > 0$ より $2^x = \frac{-3 + \sqrt{21}}{3}$。

$x = \log_2{\frac{-3 + \sqrt{21}}{3}} = \log_2{\frac{\sqrt{21}-3}{3}}$。

$x = \log_8{(\frac{\sqrt{21}-3}{3})^3} = \log_8{(\frac{21 \sqrt{21} - 27 \sqrt{21} + 81 - 27}{27})}$

$x = \log_2 \frac{\sqrt{21} - 3}{3}$ より、 チツは $21$、テは $3$ である。

3. 最終的な答え

カ: t

キ: t^2

ク: 1

ケ: 8

コ: 2

サ: 2

シ: 15

ス: 4

セ: 4

ソタ: 4

チツ: 21

テ: 3