全体集合$U$とその部分集合$A, B$について、$n(U)=50$, $n(A\cup B) = 42$, $n(A\cap B) = 3$, $n(\overline{A}\cap B) = 15$ である。次の個数を求める。 (1) $n(\overline{A}\cap \overline{B})$ (2) $n(A\cap \overline{B})$ (3) $n(A)$ (4) $n(B)$

1. 問題の内容

全体集合$U$とその部分集合$A, B$について、$n(U)=50$, $n(A\cup B) = 42$, $n(A\cap B) = 3$, $n(\overline{A}\cap B) = 15$ である。次の個数を求める。

(1) $n(\overline{A}\cap \overline{B})$

(2) $n(A\cap \overline{B})$

(3) $n(A)$

(4) $n(B)$

2. 解き方の手順

(1) $\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$ より、ド・モルガンの法則を用いると、

$n(\overline{A}\cap \overline{B}) = n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B) = 50 - 42 = 8$

(2) $n(A\cup B) = n(A) + n(B) - n(A\cap B)$ である。

また、$n(B) = n(A\cap B) + n(\overline{A}\cap B)$ より、$n(B) = 3 + 15 = 18$

$42 = n(A) + 18 - 3$

$42 = n(A) + 15$

$n(A) = 42 - 15 = 27$

$n(A\cap \overline{B}) = n(A) - n(A\cap B)$ より、$n(A\cap \overline{B}) = 27 - 3 = 24$

(3) $n(A) = 27$ (上記で計算済み)

(4) $n(B) = 18$ (上記で計算済み)

3. 最終的な答え

(1) $n(\overline{A}\cap \overline{B}) = 8$

(2) $n(A\cap \overline{B}) = 24$

(3) $n(A) = 27$

(4) $n(B) = 18$