0 ≤ θ < 2π の範囲において、与えられた三角関数の方程式 $ \sqrt{3} \sin 2\theta + \cos 2\theta + 1 = \frac{8}{3} \cos \theta $ を満たすθについて考える問題です。2倍角の公式を用いて方程式を変形し、解を求める必要があります。

1. 問題の内容

0 ≤ θ < 2π の範囲において、与えられた三角関数の方程式 $\sqrt{3} \sin 2\theta + \cos 2\theta + 1 = \frac{8}{3} \cos \theta$ を満たすθについて考える問題です。2倍角の公式を用いて方程式を変形し、解を求める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、2倍角の公式 $\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$ と $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ を用いて、与えられた方程式を変形します。

$\sqrt{3} \sin 2\theta + \cos 2\theta + 1 = \frac{8}{3} \cos \theta$

$\sqrt{3} (2 \sin \theta \cos \theta) + (2 \cos^2 \theta - 1) + 1 = \frac{8}{3} \cos \theta$

$2\sqrt{3} \sin \theta \cos \theta + 2 \cos^2 \theta = \frac{8}{3} \cos \theta$

次に、両辺を $\cos \theta$ で割ることを考えますが、その前に $\cos \theta = 0$ の場合を調べます。

$\cos \theta = 0$ の場合、与えられた方程式に代入すると、

$\sqrt{3} \sin 2\theta + \cos 2\theta + 1 = 0$ となります。

ここで、$\cos \theta = 0$ より $\theta = \frac{\pi}{2}$ または $\theta = \frac{3\pi}{2}$ です。

$\theta = \frac{\pi}{2}$ のとき、$\sin \theta = 1$, $\sin 2\theta = 0$, $\cos 2\theta = -1$ なので、

$\sqrt{3} \cdot 0 + (-1) + 1 = 0$ となり、方程式を満たします。

$\theta = \frac{3\pi}{2}$ のとき、$\sin \theta = -1$, $\sin 2\theta = 0$, $\cos 2\theta = -1$ なので、

$\sqrt{3} \cdot 0 + (-1) + 1 = 0$ となり、方程式を満たします。

したがって、$\cos \theta = 0$ は方程式の解です。

次に、$\cos \theta \neq 0$ の場合を考えます。

$2\sqrt{3} \sin \theta \cos \theta + 2 \cos^2 \theta = \frac{8}{3} \cos \theta$ の両辺を $\cos \theta$ で割ると、

$2\sqrt{3} \sin \theta + 2 \cos \theta = \frac{8}{3}$

$\sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta = \frac{4}{3}$

したがって、方程式を満たすθは、$\cos \theta = 0$ または $\sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta = \frac{4}{3}$ となります。

$\cos \theta = 0$ を満たす $0 \leq \theta < 2\pi$ の範囲のθは、$\theta = \frac{\pi}{2}$ と $\theta = \frac{3\pi}{2}$ の2つです。

小さい順に $\alpha_1, \alpha_2$ とすると、$\alpha_1 = \frac{\pi}{2}$, $\alpha_2 = \frac{3\pi}{2}$ となります。

ア = 2

イ = 2

ウ = 1

エ = 4

オ = 3

カ = 2

キ = 3

ク = 2

3. 最終的な答え

ア = 2

イ = 2

ウ = 1

エ = 4

オ = 3

α_1 = π/2

α_2 = 3π/2