与えられた複素関数の値の実部または虚部、もしくは絶対値を計算する問題です。 (1) $\text{Im}(\sin i)$ (2) $\text{Re}(\cos i + i \sin i)$ (3) $\text{Im}(\exp(2 + \frac{\pi}{4}i))$ (4) $\text{Re}(2\sin(\frac{\pi}{2} + 4i))$ (5) $|\exp(ix)|$ (6) $|\cos z - i \sin z|$ (7) $|\cos z + i \sin z|$

1. 問題の内容

与えられた複素関数の値の実部または虚部、もしくは絶対値を計算する問題です。

(1) $\text{Im}(\sin i)$

(2) $\text{Re}(\cos i + i \sin i)$

(3) $\text{Im}(\exp(2 + \frac{\pi}{4}i))$

(4) $\text{Re}(2\sin(\frac{\pi}{2} + 4i))$

(5) $|\exp(ix)|$

(6) $|\cos z - i \sin z|$

(7) $|\cos z + i \sin z|$

2. 解き方の手順

(1) $\sin(ix) = i\sinh(x)$ を利用します。

$\sin(i) = i\sinh(1)$ なので、$\text{Im}(\sin i) = \sinh(1)$

(2) Eulerの公式 $e^{ix} = \cos x + i \sin x$ より、$e^i = \cos 1 + i \sin 1$

$\cos i + i\sin i = e^i$ ではありません。$\cos(ix)=\cosh(x)$, $\sin(ix)=i\sinh(x)$なので$\cos i + i \sin i = \cosh(1) + i(i\sinh(1)) = \cosh(1) - \sinh(1) = e^{-1}$.

したがって、$\text{Re}(\cos i + i \sin i) = \cosh(1) - \sinh(1) = e^{-1}$.

(3) $\exp(2 + \frac{\pi}{4}i) = e^2 \exp(\frac{\pi}{4}i) = e^2 (\cos(\frac{\pi}{4}) + i \sin(\frac{\pi}{4})) = e^2 (\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2})$.

したがって、$\text{Im}(\exp(2 + \frac{\pi}{4}i)) = e^2 \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}e^2}{2}$.

(4) $\sin(x+iy) = \sin x \cosh y + i \cos x \sinh y$ を利用します。

$\sin(\frac{\pi}{2} + 4i) = \sin(\frac{\pi}{2})\cosh(4) + i \cos(\frac{\pi}{2}) \sinh(4) = \cosh(4) + i (0)\sinh(4) = \cosh(4)$.

$2\sin(\frac{\pi}{2} + 4i) = 2\cosh(4)$.

$\text{Re}(2\sin(\frac{\pi}{2} + 4i)) = 2\cosh(4) = e^4 + e^{-4}$.

(5) $|\exp(ix)| = |\cos x + i \sin x| = \sqrt{\cos^2 x + \sin^2 x} = \sqrt{1} = 1$.

(6) $|\cos z - i \sin z|$。 $z = x + iy$とすると、

$|\cos (x+iy) - i \sin (x+iy)| = |\cos x \cosh y - i \sin x \sinh y - i(\sin x \cosh y + i \cos x \sinh y)| = |\cos x \cosh y + \cos x \sinh y - i(\sin x \sinh y + \sin x \cosh y)| = | \cos x (\cosh y + \sinh y) - i \sin x (\sinh y + \cosh y)| = |(\cos x - i \sin x)(\sinh y + \cosh y)| = |\cos x - i \sin x| |\sinh y + \cosh y| = 1 \cdot e^y = e^y$.

(7) $|\cos z + i \sin z|$。 $z = x + iy$とすると、

$|\cos (x+iy) + i \sin (x+iy)| = |\cos x \cosh y - i \sin x \sinh y + i(\sin x \cosh y + i \cos x \sinh y)| = |\cos x \cosh y - \cos x \sinh y + i(\sin x \cosh y - \sin x \sinh y)| = | \cos x (\cosh y - \sinh y) + i \sin x (\cosh y - \sinh y)| = |(\cos x + i \sin x)(\cosh y - \sinh y)| = |\cos x + i \sin x| |\cosh y - \sinh y| = 1 \cdot e^{-y} = e^{-y}$.

3. 最終的な答え

(1) $\sinh(1)$

(2) $e^{-1}$

(3) $\frac{\sqrt{2}e^2}{2}$

(4) $2\cosh(4) = e^4 + e^{-4}$

(5) $1$

(6) $e^y$

(7) $e^{-y}$