周の長さが12mである長方形の縦の長さを $x$ mとするとき、長方形の面積を最大にする $x$ の値と最大値を求める問題です。

1. 問題の内容

周の長さが12mである長方形の縦の長さを $x$ mとするとき、長方形の面積を最大にする $x$ の値と最大値を求める問題です。

2. 解き方の手順

長方形の縦の長さを $x$ とすると、横の長さは $(12-2x)/2 = 6-x$ となります。

長方形の面積 $S$ は、

$S = x(6-x) = 6x - x^2$

$S$ を最大にする $x$ の値を求めるために、平方完成します。

$S = -x^2 + 6x = -(x^2 - 6x) = -(x^2 - 6x + 9 - 9) = -(x - 3)^2 + 9$

$S$ が最大になるのは $x = 3$ のときで、そのときの最大値は $9$ です。

3. 最終的な答え

$x = 3$ のとき、面積は最大値 $9$ m$^2$ となります。