$x = \frac{2}{\sqrt{5}+1}$ および $y = \frac{2}{\sqrt{5}-1}$ とする。次の式の値を求めよ。 (1) $x+y$, $xy$ (2) $x^2+y^2$ (3) $x^3+y^3$ (4) $\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$ (5) $\sqrt{x^2-4x+4}$ (6) $\sqrt{x^2+6xy+y^2}$

1. 問題の内容

$x = \frac{2}{\sqrt{5}+1}$ および $y = \frac{2}{\sqrt{5}-1}$ とする。次の式の値を求めよ。

(1) $x+y$, $xy$

(2) $x^2+y^2$

(3) $x^3+y^3$

(4) $\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$

(5) $\sqrt{x^2-4x+4}$

(6) $\sqrt{x^2+6xy+y^2}$

2. 解き方の手順

(1) $x+y$, $xy$を求める。

まず、$x$と$y$をそれぞれ有理化する。

$x = \frac{2}{\sqrt{5}+1} = \frac{2(\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)} = \frac{2(\sqrt{5}-1)}{5-1} = \frac{2(\sqrt{5}-1)}{4} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$

$y = \frac{2}{\sqrt{5}-1} = \frac{2(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} = \frac{2(\sqrt{5}+1)}{5-1} = \frac{2(\sqrt{5}+1)}{4} = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$

$x+y = \frac{\sqrt{5}-1}{2} + \frac{\sqrt{5}+1}{2} = \frac{\sqrt{5}-1+\sqrt{5}+1}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$

$xy = \frac{\sqrt{5}-1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}+1}{2} = \frac{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}{4} = \frac{5-1}{4} = \frac{4}{4} = 1$

(2) $x^2+y^2$を求める。

$(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$なので、 $x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy$

$x^2+y^2 = (\sqrt{5})^2 - 2(1) = 5 - 2 = 3$

(3) $x^3+y^3$を求める。

$x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2) = (x+y)((x+y)^2 - 3xy)$

$x^3+y^3 = (\sqrt{5})((\sqrt{5})^2 - 3(1)) = \sqrt{5}(5-3) = 2\sqrt{5}$

(4) $\frac{y}{x}+\frac{x}{y}$を求める。

$\frac{y}{x}+\frac{x}{y} = \frac{y^2+x^2}{xy} = \frac{x^2+y^2}{xy} = \frac{3}{1} = 3$

(5) $\sqrt{x^2-4x+4}$を求める。

$\sqrt{x^2-4x+4} = \sqrt{(x-2)^2} = |x-2|$

$x = \frac{\sqrt{5}-1}{2} \approx \frac{2.236-1}{2} \approx 0.618$

$|x-2| = |0.618-2| = |-1.382| = 2-x = 2-\frac{\sqrt{5}-1}{2} = \frac{4-\sqrt{5}+1}{2} = \frac{5-\sqrt{5}}{2}$

(6) $\sqrt{x^2+6xy+y^2}$を求める。

$\sqrt{x^2+6xy+y^2} = \sqrt{(x+y)^2+4xy}$

$= \sqrt{(\sqrt{5})^2+4(1)} = \sqrt{5+4} = \sqrt{9} = 3$

3. 最終的な答え

(1) $x+y = \sqrt{5}$, $xy = 1$

(2) $x^2+y^2 = 3$

(3) $x^3+y^3 = 2\sqrt{5}$

(4) $\frac{y}{x}+\frac{x}{y} = 3$

(5) $\sqrt{x^2-4x+4} = \frac{5-\sqrt{5}}{2}$

(6) $\sqrt{x^2+6xy+y^2} = 3$