赤い袋に1と2のカードが1枚ずつ、白い袋に2と4のカードが1枚ずつ入っている。 赤い袋から取り出した数を確率変数$A$、白い袋から取り出した数を確率変数$B$とする。 (1) $A=2$となる確率、$E(A)$、$V(A)$を求める。 (2) 十の位が$A$、一の位が$B$である2桁の数を表す確率変数を$M$とする。$E(M)$、$V(M)$を求める。

1. 問題の内容

赤い袋に1と2のカードが1枚ずつ、白い袋に2と4のカードが1枚ずつ入っている。

赤い袋から取り出した数を確率変数$A$、白い袋から取り出した数を確率変数$B$とする。

(1) $A=2$となる確率、$E(A)$、$V(A)$を求める。

(2) 十の位が$A$、一の位が$B$である2桁の数を表す確率変数を$M$とする。$E(M)$、$V(M)$を求める。

2. 解き方の手順

(1)

- $A=2$となる確率は、赤い袋から2を引く確率なので、$\frac{1}{2}$である。

- $A$の期待値$E(A)$は、$E(A) = 1 \times \frac{1}{2} + 2 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$である。

- $A^2$の期待値$E(A^2)$は、$E(A^2) = 1^2 \times \frac{1}{2} + 2^2 \times \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$である。

- $A$の分散$V(A)$は、$V(A) = E(A^2) - (E(A))^2 = \frac{5}{2} - (\frac{3}{2})^2 = \frac{5}{2} - \frac{9}{4} = \frac{10}{4} - \frac{9}{4} = \frac{1}{4}$である。

(2)

- $M=10A + B$である。

- $E(M) = E(10A + B) = 10E(A) + E(B)$である。

- $E(B) = 2 \times \frac{1}{2} + 4 \times \frac{1}{2} = 3$である。

- $E(M) = 10 \times \frac{3}{2} + 3 = 15 + 3 = 18$である。

- $V(M) = V(10A + B)$である。$A$と$B$は独立なので、$V(10A + B) = 10^2V(A) + V(B)$である。

- $E(B^2) = 2^2 \times \frac{1}{2} + 4^2 \times \frac{1}{2} = 2 + 8 = 10$である。

- $V(B) = E(B^2) - (E(B))^2 = 10 - 3^2 = 10 - 9 = 1$である。

- $V(M) = 100 \times \frac{1}{4} + 1 = 25 + 1 = 26$である。

3. 最終的な答え

$A=2$となる確率は$\frac{1}{2}$

$E(A) = \frac{3}{2}$

$V(A) = \frac{1}{4}$

$E(M) = 18$

$V(M) = 26$