次の連立不等式を解きます。 $\begin{cases} (1-\sqrt{2})x > -1 \\ |2x+1| < 6 \end{cases}$

1. 問題の内容

次の連立不等式を解きます。

$\begin{cases}

(1-\sqrt{2})x > -1 \\

|2x+1| < 6

\end{cases}$

2. 解き方の手順

まず、一つ目の不等式 $(1-\sqrt{2})x > -1$ を解きます。

$1-\sqrt{2}$ は負の数なので、両辺を $1-\sqrt{2}$ で割ると不等号の向きが変わります。

$x < \frac{-1}{1-\sqrt{2}}$

分母を有理化します。

$\frac{-1}{1-\sqrt{2}} = \frac{-1}{1-\sqrt{2}} \cdot \frac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}} = \frac{-1-\sqrt{2}}{1-2} = \frac{-1-\sqrt{2}}{-1} = 1+\sqrt{2}$

よって、一つ目の不等式の解は

$x < 1+\sqrt{2}$

次に、二つ目の不等式 $|2x+1| < 6$ を解きます。

$-6 < 2x+1 < 6$

各辺から1を引きます。

$-7 < 2x < 5$

各辺を2で割ります。

$-\frac{7}{2} < x < \frac{5}{2}$

したがって、二つ目の不等式の解は

$-\frac{7}{2} < x < \frac{5}{2}$

連立不等式の解は、それぞれの不等式の解の共通部分です。

$x < 1+\sqrt{2}$ と $-\frac{7}{2} < x < \frac{5}{2}$ の共通範囲を求めます。

$1+\sqrt{2} \approx 1+1.414 = 2.414$

$\frac{5}{2} = 2.5$

$-\frac{7}{2} = -3.5$

したがって、 $-\frac{7}{2} < x < 1+\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$-\frac{7}{2} < x < 1+\sqrt{2}$