2次方程式 $x^2 + 2x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、以下の2つの数を解にもつ2次方程式をそれぞれ作成する。 (1) $\alpha - 1, \beta - 1$ (2) $\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}$

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 2x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、以下の2つの数を解にもつ2次方程式をそれぞれ作成する。

(1) $\alpha - 1, \beta - 1$

(2) $\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}$

2. 解き方の手順

(1) $\alpha - 1, \beta - 1$ を解にもつ2次方程式を作る。

まず、解と係数の関係より、$\alpha + \beta = -2$ かつ $\alpha\beta = 3$ がわかる。

求める2次方程式の解の和と積を計算する。

和: $(\alpha - 1) + (\beta - 1) = \alpha + \beta - 2 = -2 - 2 = -4$

積: $(\alpha - 1)(\beta - 1) = \alpha\beta - (\alpha + \beta) + 1 = 3 - (-2) + 1 = 6$

よって、$\alpha - 1, \beta - 1$ を解に持つ2次方程式の一つは、$x^2 - (\text{解の和})x + (\text{解の積}) = 0$ より、

$x^2 - (-4)x + 6 = 0$

$x^2 + 4x + 6 = 0$

(2) $\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}$ を解にもつ2次方程式を作る。

求める2次方程式の解の和と積を計算する。

和: $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta} = \frac{-2}{3} = -\frac{2}{3}$

積: $\frac{1}{\alpha} \cdot \frac{1}{\beta} = \frac{1}{\alpha\beta} = \frac{1}{3}$

よって、$\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}$ を解に持つ2次方程式の一つは、$x^2 - (\text{解の和})x + (\text{解の積}) = 0$ より、

$x^2 - (-\frac{2}{3})x + \frac{1}{3} = 0$

$x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{1}{3} = 0$

両辺に3を掛けて、$3x^2 + 2x + 1 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + 4x + 6 = 0$

(2) $3x^2 + 2x + 1 = 0$