$x > 0$ のとき、$f(x) = (x + \frac{4}{x})(x + \frac{9}{x})$ の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$x > 0$ のとき、$f(x) = (x + \frac{4}{x})(x + \frac{9}{x})$ の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を展開します。

$f(x) = (x + \frac{4}{x})(x + \frac{9}{x}) = x^2 + 9 + 4 + \frac{36}{x^2} = x^2 + \frac{36}{x^2} + 13$

次に、相加平均・相乗平均の関係を利用します。$x > 0$ であるので、$x^2 > 0$ かつ $\frac{36}{x^2} > 0$ です。したがって、$x^2$ と $\frac{36}{x^2}$ に対して相加平均・相乗平均の関係が使えます。

相加平均・相乗平均の関係より、

$\frac{x^2 + \frac{36}{x^2}}{2} \ge \sqrt{x^2 \cdot \frac{36}{x^2}} = \sqrt{36} = 6$

したがって、

$x^2 + \frac{36}{x^2} \ge 12$

よって、

$f(x) = x^2 + \frac{36}{x^2} + 13 \ge 12 + 13 = 25$

等号成立条件は $x^2 = \frac{36}{x^2}$、つまり $x^4 = 36$ です。$x > 0$ であるから、$x^2 = 6$、よって $x = \sqrt{6}$ のとき最小値をとります。

3. 最終的な答え

最小値は 25