等差数列 $\{a_n\}$ において、第4項が11、第10項が23であるとき、以下の問いに答える。 (1) 一般項 $a_n$ を求める。 (2) 初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める。 (3) $\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{a_k \cdot a_{k+1}}$ を求める。

1. 問題の内容

等差数列 $\{a_n\}$ において、第4項が11、第10項が23であるとき、以下の問いに答える。

(1) 一般項 $a_n$ を求める。

(2) 初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める。

(3) $\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{a_k \cdot a_{k+1}}$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

等差数列の一般項を $a_n = a + (n-1)d$ とする。

第4項が11であることから、

$a_4 = a + 3d = 11$ ...(1)

第10項が23であることから、

$a_{10} = a + 9d = 23$ ...(2)

(2) - (1) より、

$6d = 12$

$d = 2$

(1) に代入して、

$a + 3(2) = 11$

$a + 6 = 11$

$a = 5$

したがって、$a_n = 5 + (n-1)2 = 5 + 2n - 2 = 2n + 3$

(2)

初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、

$S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d) = \frac{n}{2}(2(5) + (n-1)2) = \frac{n}{2}(10 + 2n - 2) = \frac{n}{2}(2n + 8) = n(n+4) = n^2 + 4n$

(3)

$a_k = 2k + 3$ より、

$a_{k+1} = 2(k+1) + 3 = 2k + 5$

$\frac{1}{a_k a_{k+1}} = \frac{1}{(2k+3)(2k+5)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k+3} - \frac{1}{2k+5} \right)$

$\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{a_k a_{k+1}} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{10} \left( \frac{1}{2k+3} - \frac{1}{2k+5} \right)$

$= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{9} + \cdots + \frac{1}{23} - \frac{1}{25} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{25} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{5}{25} - \frac{1}{25} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{4}{25} \right) = \frac{2}{25}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 2n + 3$

(2) $S_n = n^2 + 4n$

(3) $\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{a_k \cdot a_{k+1}} = \frac{2}{25}$