与えられた数式の値を計算します。 $(2\sqrt{3} + \sqrt{2} - \sqrt{6})(2\sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{6})$

1. 問題の内容

与えられた数式の値を計算します。

$(2\sqrt{3} + \sqrt{2} - \sqrt{6})(2\sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{6})$

2. 解き方の手順

この式は、$A = 2\sqrt{3} + \sqrt{2}$ とおくと、$(A - \sqrt{6})(A + \sqrt{6})$ の形になります。

これは、$A^2 - (\sqrt{6})^2$ と展開できます。

$A^2 = (2\sqrt{3} + \sqrt{2})^2$

$= (2\sqrt{3})^2 + 2(2\sqrt{3})(\sqrt{2}) + (\sqrt{2})^2$

$= 4(3) + 4\sqrt{6} + 2$

$= 12 + 4\sqrt{6} + 2$

$= 14 + 4\sqrt{6}$

$(\sqrt{6})^2 = 6$

よって、$(A - \sqrt{6})(A + \sqrt{6}) = A^2 - (\sqrt{6})^2 = (14 + 4\sqrt{6}) - 6$

$= 14 + 4\sqrt{6} - 6$

$= 8 + 4\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

$8 + 4\sqrt{6}$