与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} -2 & 7 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & -3 & 0 \end{bmatrix}$ の逆行列が存在するかどうかを判定し、存在する場合は逆行列を求めます。

1. 問題の内容

与えられた行列

$A = \begin{bmatrix} -2 & 7 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & -3 & 0 \end{bmatrix}$

の逆行列が存在するかどうかを判定し、存在する場合は逆行列を求めます。

2. 解き方の手順

(a) 逆行列が存在するかどうかの判定：行列式を計算します。行列式が0でなければ逆行列が存在します。

行列 $A$ の行列式を計算します。

$\det(A) = -2 \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -3 & 0 \end{vmatrix} - 7 \begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -3 \end{vmatrix}$

$\det(A) = -2(1 \cdot 0 - (-1) \cdot (-3)) - 7((-1) \cdot 0 - (-1) \cdot 1) + 1((-1) \cdot (-3) - 1 \cdot 1)$

$\det(A) = -2(0 - 3) - 7(0 + 1) + 1(3 - 1)$

$\det(A) = -2(-3) - 7(1) + 1(2)$

$\det(A) = 6 - 7 + 2 = 1$

$\det(A) = 1 \neq 0$ なので、逆行列が存在します。

(b) 逆行列の計算：余因子行列を計算し、転置行列を求め、行列式で割ります。

まず、余因子行列 $C$ を計算します。

$C_{11} = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -3 & 0 \end{vmatrix} = -3$

$C_{12} = -\begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1$

$C_{13} = \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = 2$

$C_{21} = -\begin{vmatrix} 7 & 1 \\ -3 & 0 \end{vmatrix} = -3$

$C_{22} = \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1$

$C_{23} = -\begin{vmatrix} -2 & 7 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = -(6 - 7) = 1$

$C_{31} = \begin{vmatrix} 7 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -7 - 1 = -8$

$C_{32} = -\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = -(2 + 1) = -3$

$C_{33} = \begin{vmatrix} -2 & 7 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = -2 + 7 = 5$

したがって、余因子行列は

$C = \begin{bmatrix} -3 & -1 & 2 \\ -3 & -1 & 1 \\ -8 & -3 & 5 \end{bmatrix}$

です。

次に、余因子行列の転置行列を計算します。

$C^T = \begin{bmatrix} -3 & -3 & -8 \\ -1 & -1 & -3 \\ 2 & 1 & 5 \end{bmatrix}$

最後に、逆行列は

$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} C^T = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} -3 & -3 & -8 \\ -1 & -1 & -3 \\ 2 & 1 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & -3 & -8 \\ -1 & -1 & -3 \\ 2 & 1 & 5 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

逆行列は存在します。

$A^{-1} = \begin{bmatrix} -3 & -3 & -8 \\ -1 & -1 & -3 \\ 2 & 1 & 5 \end{bmatrix}$