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与えられた3x3の行列Aの逆行列 $A^{-1}$ を求める問題です。 $ A = \begin{bmatrix} -3 & -9 & -17 \\ -5 & -16 & -32 \\ 1 & 3 & 6 \end{bmatrix} $

代数学行列逆行列行列式余因子行列随伴行列
2025/6/4

1. 問題の内容

与えられた3x3の行列Aの逆行列 A−1A^{-1} を求める問題です。
A=[−3−9−17−5−16−32136] A = \begin{bmatrix} -3 & -9 & -17 \\ -5 & -16 & -32 \\ 1 & 3 & 6 \end{bmatrix}

2. 解き方の手順

行列の逆行列を求めるための手順は以下の通りです。
(1) 行列Aの行列式を計算します。
(2) 行列Aの余因子行列を計算します。
(3) 余因子行列の転置行列（随伴行列）を計算します。
(4) 行列式で随伴行列を割ることで、逆行列を計算します。
まず、行列式を計算します。
det(A)=−3(−16∗6−3∗(−32))−(−9)(−5∗6−1∗(−32))+(−17)(−5∗3−1∗(−16))=−3(−96+96)+9(−30+32)−17(−15+16)=0+9(2)−17(1)=18−17=1det(A) = -3(-16*6 - 3*(-32)) - (-9)(-5*6 - 1*(-32)) + (-17)(-5*3 - 1*(-16)) = -3(-96 + 96) + 9(-30 + 32) - 17(-15 + 16) = 0 + 9(2) - 17(1) = 18 - 17 = 1
次に、余因子行列を計算します。
C11=(−16)(6)−(3)(−32)=−96+96=0C_{11} = (-16)(6) - (3)(-32) = -96 + 96 = 0
C12=−((−5)(6)−(1)(−32))=−(−30+32)=−2C_{12} = -((-5)(6) - (1)(-32)) = -(-30 + 32) = -2
C13=(−5)(3)−(1)(−16)=−15+16=1C_{13} = (-5)(3) - (1)(-16) = -15 + 16 = 1
C21=−((−9)(6)−(3)(−17))=−(−54+51)=−(−3)=3C_{21} = -(( -9)(6) - (3)(-17)) = -(-54 + 51) = -(-3) = 3
C22=(−3)(6)−(1)(−17)=−18+17=−1C_{22} = (-3)(6) - (1)(-17) = -18 + 17 = -1
C23=−((−3)(3)−(1)(−9))=−(−9+9)=0C_{23} = -((-3)(3) - (1)(-9)) = -(-9 + 9) = 0
C31=(−9)(−32)−(−16)(−17)=288−272=16C_{31} = (-9)(-32) - (-16)(-17) = 288 - 272 = 16
C32=−((−3)(−32)−(−5)(−17))=−(96−85)=−11C_{32} = -((-3)(-32) - (-5)(-17)) = -(96 - 85) = -11
C33=(−3)(−16)−(−5)(−9)=48−45=3C_{33} = (-3)(-16) - (-5)(-9) = 48 - 45 = 3
したがって、余因子行列は
C=[0−213−1016−113]C = \begin{bmatrix} 0 & -2 & 1 \\ 3 & -1 & 0 \\ 16 & -11 & 3 \end{bmatrix}
次に、余因子行列の転置行列（随伴行列）を計算します。
adj(A)=CT=[0316−2−1−11103]adj(A) = C^T = \begin{bmatrix} 0 & 3 & 16 \\ -2 & -1 & -11 \\ 1 & 0 & 3 \end{bmatrix}
最後に、行列式で随伴行列を割ります。この場合、det(A)=1det(A) = 1 なので、
A−1=1det(A)adj(A)=[0316−2−1−11103]A^{-1} = \frac{1}{det(A)} adj(A) = \begin{bmatrix} 0 & 3 & 16 \\ -2 & -1 & -11 \\ 1 & 0 & 3 \end{bmatrix}

3. 最終的な答え

A−1=[0316−2−1−11103]A^{-1} = \begin{bmatrix} 0 & 3 & 16 \\ -2 & -1 & -11 \\ 1 & 0 & 3 \end{bmatrix}

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