与えられた置換行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ を求める問題です。 $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた置換行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ を求める問題です。

$A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

置換行列の逆行列は転置行列と等しいです。

つまり、$A^{-1} = A^T$ が成り立ちます。

与えられた行列$A$の転置行列を求めます。

行列 $A$ の $(i, j)$ 成分を $a_{ij}$ とすると、転置行列 $A^T$ の $(i, j)$ 成分は $a_{ji}$ となります。

したがって、$A^T$ は次のように計算できます。

$A^T = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

$A^{-1} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$