与えられた４つの数式を展開する問題です。 (5) $(a-b+c)(a-b-c)$ (6) $(2x-y+z)(2x+y-z)$ (7) $(x^2-x+1)(x^2 - 3x + 1)$ (8) $(a+b+c+d)(a+b-c-d)$

はい、承知いたしました。以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

与えられた４つの数式を展開する問題です。

(5) $(a-b+c)(a-b-c)$

(6) $(2x-y+z)(2x+y-z)$

(7) $(x^2-x+1)(x^2 - 3x + 1)$

(8) $(a+b+c+d)(a+b-c-d)$

2. 解き方の手順

(5) $(a-b+c)(a-b-c)$

$A = a-b$と置くと、

$(A+c)(A-c) = A^2 - c^2$

$= (a-b)^2 - c^2$

$= a^2 - 2ab + b^2 - c^2$

(6) $(2x-y+z)(2x+y-z)$

$A = 2x-z$と置くと、

$(A-y)(A+y) = A^2 - y^2$

$= (2x-z)^2 - y^2$

$= 4x^2 - 4xz + z^2 - y^2$

$= 4x^2 - y^2 + z^2 - 4xz$

(7) $(x^2-x+1)(x^2 - 3x + 1)$

地道に展開します。

$= x^4 - 3x^3 + x^2 - x^3 + 3x^2 - x + x^2 - 3x + 1$

$= x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 4x + 1$

(8) $(a+b+c+d)(a+b-c-d)$

$A = a+b$, $B=c+d$と置くと、

$(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$

$= (a+b)^2 - (c+d)^2$

$= a^2 + 2ab + b^2 - (c^2 + 2cd + d^2)$

$= a^2 + b^2 - c^2 - d^2 + 2ab - 2cd$

3. 最終的な答え

(5) $a^2 - 2ab + b^2 - c^2$

(6) $4x^2 - y^2 + z^2 - 4xz$

(7) $x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 4x + 1$

(8) $a^2 + b^2 - c^2 - d^2 + 2ab - 2cd$