整式 $A$ を $x-3$ で割ると商が $Q$ で余りが $5$ である。この商 $Q$ を $x+2$ で割ると商が $2x+1$ で余りが $-4$ である。このとき、整式 $A$ を求めよ。

1. 問題の内容

整式 $A$ を $x-3$ で割ると商が $Q$ で余りが $5$ である。この商 $Q$ を $x+2$ で割ると商が $2x+1$ で余りが $-4$ である。このとき、整式 $A$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$Q$ を $x+2$ で割ったときの関係を式で表します。

$Q = (x+2)(2x+1) - 4$

次に、これを展開して $Q$ を求めます。

$Q = 2x^2 + x + 4x + 2 - 4 = 2x^2 + 5x - 2$

次に、$A$ を $x-3$ で割ったときの関係を式で表します。

$A = (x-3)Q + 5$

ここで、$Q = 2x^2 + 5x - 2$ を代入します。

$A = (x-3)(2x^2 + 5x - 2) + 5$

これを展開して $A$ を求めます。

$A = 2x^3 + 5x^2 - 2x - 6x^2 - 15x + 6 + 5$

$A = 2x^3 - x^2 - 17x + 11$

3. 最終的な答え

$A = 2x^3 - x^2 - 17x + 11$