以下の3つの式を因数分解します。 (1) $ab(a-b) + bc(b-c) + ca(c-a)$ (2) $(x+y+z)(xy+yz+zx) - xyz$ (3) $a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 3abc$

はい、承知いたしました。以下の形式で、画像にある数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

以下の3つの式を因数分解します。

(1) $ab(a-b) + bc(b-c) + ca(c-a)$

(2) $(x+y+z)(xy+yz+zx) - xyz$

(3) $a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 3abc$

2. 解き方の手順

(1) $ab(a-b) + bc(b-c) + ca(c-a)$ の因数分解

まず、式を展開します。

$ab(a-b) + bc(b-c) + ca(c-a) = a^2b - ab^2 + b^2c - bc^2 + c^2a - ca^2$

次に、$a$について整理します。

$a^2b - ab^2 + b^2c - bc^2 + c^2a - ca^2 = (b-c)a^2 + (c^2 - b^2)a + (b^2c - bc^2)$

さらに変形します。

$(b-c)a^2 + (c^2 - b^2)a + (b^2c - bc^2) = (b-c)a^2 - (b^2 - c^2)a + bc(b-c)$

$(b-c)$でくくります。

$(b-c)a^2 - (b^2 - c^2)a + bc(b-c) = (b-c)[a^2 - (b+c)a + bc]$

最後に、括弧内を因数分解します。

$(b-c)[a^2 - (b+c)a + bc] = (b-c)(a-b)(a-c)$

並び替えて、

$-(a-b)(b-c)(c-a)$

(2) $(x+y+z)(xy+yz+zx) - xyz$ の因数分解

式を展開します。

$(x+y+z)(xy+yz+zx) - xyz = x^2y + xyz + zx^2 + xy^2 + y^2z + xyz + xyz + yz^2 + z^2x - xyz$

整理します。

$x^2y + x^2z + y^2x + y^2z + z^2x + z^2y + 2xyz$

$x$について整理します。

$(y+z)x^2 + (y^2 + 2yz + z^2)x + yz(y+z)$

$(y+z)$でくくります。

$(y+z)x^2 + (y+z)^2x + yz(y+z) = (y+z)[x^2 + (y+z)x + yz]$

括弧内を因数分解します。

$(y+z)[x^2 + (y+z)x + yz] = (y+z)(x+y)(x+z)$

並び替えて

$(x+y)(y+z)(z+x)$

(3) $a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 3abc$ の因数分解

式を展開します。

$a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 3abc = a^2b + a^2c + b^2c + b^2a + c^2a + c^2b + 3abc$

$a$について整理します。

$a^2b + a^2c + b^2c + b^2a + c^2a + c^2b + 3abc = (b+c)a^2 + (b^2 + c^2 + 3bc)a + (b^2c + c^2b)$

さらに変形します。

$(b+c)a^2 + (b^2 + 2bc + c^2 + bc)a + bc(b+c) = (b+c)a^2 + ((b+c)^2 + bc)a + bc(b+c)$

$(b+c)$でくくります。

$(b+c)[a^2 + (b+c)a + bc] + (ab)a$

$(b+c)(a+b)(a+c) + (bc)a$

あれ？間違えたようです。再度$a$について整理し直します。

$a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 3abc = a^2b + a^2c + b^2c + ab^2 + ac^2 + bc^2 + 3abc$

$= (b+c)a^2 + (b^2+2bc+c^2)a + bc(b+c)$

$= (b+c)a^2 + (b+c)^2a + bc(b+c)$

$= (b+c)(a^2+(b+c)a+bc)$

$= (b+c)(a+b)(a+c)$

$= (a+b)(b+c)(c+a)$

3. 最終的な答え

(1) $-(a-b)(b-c)(c-a)$

(2) $(x+y)(y+z)(z+x)$

(3) $(a+b)(b+c)(c+a)$