1から4の番号が書かれた赤球、白球、青球がそれぞれ4個ずつ、合計12個の球がある。この中から4個の球を同時に取り出す。 (1) 4個の球の取り出し方は全部で何通りあるか。 (2) 取り出した4個の球に4が書かれた球がちょうど2個含まれるような取り出し方は何通りあるか。 (3) 取り出した4個の球の色の種類がちょうど2種類であり、かつ、取り出した4個の球に4が書かれた球が含まれるような取り出し方は何通りあるか。

1. 問題の内容

1から4の番号が書かれた赤球、白球、青球がそれぞれ4個ずつ、合計12個の球がある。この中から4個の球を同時に取り出す。

(1) 4個の球の取り出し方は全部で何通りあるか。

(2) 取り出した4個の球に4が書かれた球がちょうど2個含まれるような取り出し方は何通りあるか。

(3) 取り出した4個の球の色の種類がちょうど2種類であり、かつ、取り出した4個の球に4が書かれた球が含まれるような取り出し方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 12個の球から4個を取り出す組み合わせを考える。これは組み合わせの数で表され、$_{12}C_4$で計算できる。

$_{12}C_4 = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4!8!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495$

(2) 4の番号の球は赤、白、青のそれぞれに1個ずつ、合計3個ある。4が書かれた球がちょうど2個含まれる場合を考える。

まず、4の番号の球を2個選ぶ。これは$_{3}C_2 = \frac{3!}{2!1!} = 3$通り。

残りの2個は、4の番号が書かれた球以外の9個の球から選ぶ。これは$_{9}C_2 = \frac{9!}{2!7!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$通り。

よって、$3 \times 36 = 108$通り。

(3) 取り出した4個の球の色の種類がちょうど2種類であり、かつ、取り出した4個の球に4が書かれた球が含まれる場合を考える。

まず、4が書かれた球を少なくとも1つ含んでいる必要がある。

Case 1: 4が書かれた球を1つだけ含む場合

4が書かれた球の色を1つ選び（3通り）、残りの3つの球は別の色から選ぶ必要がある。

まず、残りの3つの球の色を決めなければならない。これらは同じ色であっても良い。色の組み合わせは以下の通り。

- 同じ色の球を3つ：残りの2色のうち1つ選ぶ（2通り）。4以外の球の選び方は$_{3}C_3=1$通りなので、4が書かれた球を1つ選ぶ場合と合わせて$3 \times 2 \times 1 = 6$通り。

- 同じ色の球を2つ、別の色の球を1つ：残りの2色から2つ選ぶ。そのうち1つを2回使うので2通り。色の選び方が$_{2}C_2 \times 2 = 2$通り。同じ色2つの選び方が$_{3}C_2=3$通り。違う色の選び方が$_{3}C_1=3$通り。4が書かれた球を1つ選ぶ場合と合わせて$3 \times 2 \times 3 \times 3 = 54$通り。

Case 2: 4が書かれた球を2つだけ含む場合

(2)で求めたように、取り出した4個の球に4が書かれた球がちょうど2個含まれるのは108通り。

4の番号の球以外の2個は、同じ色か違う色になるかのいずれかである。

- 2個が同じ色の場合は、4が書かれた2個の球の色は異なっている必要がある。

- 2個が異なる色の場合は、4が書かれた2個の球の色はどちらでも良い。

Case 3: 4が書かれた球を3つ含む場合

ありえない。4つの球を取り出すとき、色の種類が2種類である必要があるため。4が書かれた球で3種類の色を使ってしまうと、残りの1つの球はどれかの色を重複して選ぶ必要がある。

上記より、慎重に場合分けをして数え上げる必要がある。

最終的な答え

(1) 495通り

(2) 108通り

(3) 計算が複雑なため、正確な答えを出すのが難しい。