$\sqrt{5}$ が無理数であることを用いて、等式 $(\sqrt{5}-1)x - (3+\sqrt{5})y = 3+5\sqrt{5}$ を満たす有理数 $x$, $y$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\sqrt{5}$ が無理数であることを用いて、等式 $(\sqrt{5}-1)x - (3+\sqrt{5})y = 3+5\sqrt{5}$ を満たす有理数 $x$, $y$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた等式を展開します。

$(\sqrt{5}-1)x - (3+\sqrt{5})y = 3+5\sqrt{5}$

$\sqrt{5}x - x - 3y - \sqrt{5}y = 3+5\sqrt{5}$

$\sqrt{5}x - \sqrt{5}y - x - 3y = 3+5\sqrt{5}$

$\sqrt{5}(x-y) - (x+3y) = 3+5\sqrt{5}$

ここで、$x$ と $y$ は有理数であるため、$x-y$ も $x+3y$ も有理数です。$\sqrt{5}$ は無理数であるため、

$x-y = 5$

$-(x+3y) = 3$

という連立方程式が成り立ちます。

2つ目の式を $x+3y = -3$ と書き換えます。

これで連立方程式

$x-y = 5$

$x+3y = -3$

が得られました。

1つ目の式から $x=y+5$ を得て、これを2つ目の式に代入すると、

$(y+5) + 3y = -3$

$4y+5 = -3$

$4y = -8$

$y = -2$

となります。

次に、$x = y+5$ に $y=-2$ を代入すると、

$x = -2 + 5 = 3$

となります。

したがって、$x=3$, $y=-2$ が解となります。

3. 最終的な答え

$x = 3$, $y = -2$